8504862317

Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina

Twierdzenie 16 (Całkowe kryterium Cauchy’ego-Maclaurina zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych). Niech dana będzie funkcja f(x): nieujemna i niemalejąca na półprostej [m, +oo), gdzie m € Z. Wtedy

szereg ^ /(&) — fi^m) + fi^m + 1) + f(m + 2) + ... jest zbieżnym

k=m

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica ciągu lim f f(x) dx.

Dowód. Vk ^ n,Vx € [A;, k + 1] zachodzi nierówność f(k) ^ f(x) ^ f{k + 1). Wynika stąd, że

fc+i    fc+i    fc+i

J f(k) dx ^ J f{x) dx ^ f f(k + 1) dx.

□