285 2

285

7.4. Całkowanie numeryczne

ogólnie udowodnić, korzystając 2 wzoru Eulera-Maclaurira (twierdzenie 7.4.2). _kmia kolumna zawiera wyrażenia

n/p

Ą    ph X¹(°^fo/jil + ^3cl /pi-1 + •■■+<^pfpi-p),

gdzie p=2^lt~\    n - 2^Jp (7*0,1....),    h=(b-a)/n,

dokładne dla wszystkich wielomianów stopnia 2/r-l. Można leż wykazać, źc _(?47)    *i>0, Zo + a,+ ..+a_p=l.

pierwsza nierówność łatwo sprawdzić d'a niewielkich k, natomiast ogólny dowód jest bardziej złożony. Draga równość wynika z żądania dokładności wzoru dla f(x)=\ \ wobec tego powinno być    ^

pl1 -i!L(a₀ + x, -f... +<*„) = f I 'dx=b-a = nh.

P

Twierdzenie 7.4.1. Jeśli wartość bezwzględna błędu wartości funkcji nic przewyższa %U. to dla każdej kolumny schematu Romberga zachodzi, niezależnie od h. nierówność \R_x\ś(b-ay±U.

Dowód. Z (7.4.6) wynika, że

|Rjt|-(W • iU + K|-iU+... + |«J • łŁ')=

n 1 ’ ^n,'^p

-»■■ • _tł'ZN-

P 2    *=t

Twierdzenie wynika zatem z (7.4.7).

7.4.2. Błąd obcięcia dla wzoru trapezów

Zarówno dla wzoru prostokątów, jak i dla wzoru trapezów łatwo otrzymać ścisłe oszacowania błędu obcięcia (błędu dySkretyzacji). Załóżmy, źe pochodna f" jest ciągła Dła jednego kroku wzoru trapezów mamy (na mocy wzoru (7.3.2) dla m= 1, Plującego błąd obcięcia dla interpolacji liniowej) równość

X,

-l^c

^T<^A>~ s f(x)dx

^■£1^    gdzie    zależy od x.

(*• _Uc j^edn°k (x~x_i_₁) (at~x_/)<0 dla ,v e (x_{-,, x₍), więc z twierdzenia całkowego Wfąuonej postaci) o wartości średniej wynika, że

-$/”(&) *f (x-x_i„_t)(x-x,)dx. gdzie    xj.