5167288149

15.    Dane są trzy liczby całkowite a, b, c i liczba pierwsza p > 5. Udowodnić, że jeżeli an² + + c jest kwadratem liczby całkowitej dla 2p — 1 kolejnych wartości n, to p|6² — 4ac.

16.    Dana jest liczba naturalna n > 2. Tablica n x n jest wypełniona liczbami 0 i 1 w ten sposób, że każdy podzbiór n pól, z których żadne 2 nie leżą w jednej kolumnie ani w jednym wierszu zawiera co najmniej jedno pole z liczbą 1. Dowieść, że istnieje i wierszy i j kolumn, gdzie i + j > n + 1, takich, że na przecięciu każdego wiersza i każdej kolumny jest liczba 1.

17.    Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n takich, że suma cyfr liczby 3ⁿ jest nie mniejsza niż suma cyfr liczby 3ⁿ⁺¹.

18.    Dany jest wielomian stopnia n spełniający zależność P(i) = 2* dla i = 0,1,2,... , n. Wyznaczyć P(n + 1).

19.    Na płaszczyźnie dany jest wielokąt W o polu większym od n. Udowodnić, że można tak przesunąć równolegle wielokąt W, że w jego wnętrzu znajdzie się co najmniej n + 1 punktów kratowych.

20.    Niech KL i KN będą stycznymi do okręgu k w punktach L i N. M jest takim punktem, że K, N, M leżą na jednej prostej w tej właśnie kolejności. Okrąg opisany na trójkącie KLM przecina okrąg k w punkcie P. Punkt Q iest rzutem prostopadłym N na prostą ML. Udowodnić, że

= 2 A.KML.

21.    Ahmed i Kredek grają w grę na szachownicy n x n, gdzie n jest liczbą nieparzystą. Ahmed stawia kółka, a Fredek krzyżyki. Na początku wszystkie pola są puste, tylko w lewym dolnym rogu jest kółko, a w prawym górnym jest krzyżyk. Zaczyna Ahmed. Ruch gracza polega na postawieniu swojego znaczka na wolnym polu sąsiadującym przez krawędź z polem, na którym jest już postawiony jego znaczek. Gdy gracz nie może wykonać ruchu, to traci go. Gra kończy się, gdy żaden z graczy nie może wykonać ruchu. Grę wygrywa ten gracz, który wykonał więcej ruchów. Rozstrzygnij, który z graczy posiada strategię wygrywającą.

22.    Dany jest wielomian P stopnia n>2o współczynnikach całkowi-

9