3360446511

16 Część I - Zadania

1.6.11. Załóżmy, że dane są trzy liczby całkowite m , n i p . Zdefiniujmy PNWD(ra,n,p) = NWD(ra, NWD(n,p)). Pokaż, że tak zdefiniowany PNWD jest równy największemu wspólnemu dzielnikowi liczb m, n i p (zdefiniowanemu w zadaniu 1.6.9).

1.7. Najmniejsza wspólna wielokrotność. Załóżmy, że n i m są liczbami całkowitymi różnymi od zera. Liczbę całkowitą s nazywamy najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb m i n (co zapisujemy NWW(m,n) = s ), jeśli

1)    s > 1,

2)    m\s oraz n\s,

3)    jeżeli liczba całkowita t spełnia warunek n\t i m\t, to s\t. Na przykład NWW(6,9) = 18 .

Analogicznie określamy najmniejszą wspólną wielokrotność k różnych od zera liczb całkowitych a\, a2 , ... , ak i oznaczamy ją przez NWW(ai, 02,. • • ,&fc) •

1.7.1.

(a)    Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która po podzieleniu przez każdą z liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje zawsze resztę 1.

(b)    Znajdź najmniejszą liczbę naturalną, która po podzieleniu przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje, odpowiednio, reszty 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

1.7.2.    Załóżmy, że NWD(a, b) = d i niech a = da\ , b = dbi . Uzasadnij, że NWW(a, b) = a\db\.

1.7.3.    Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi równość ab = NWD(a, b) • NWW(a, b).

1.7.4.    Wykaż, że jeżeli liczby a i b są względnie pierwsze, to NWW (a, b) = ab.

1.7.5.    Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi nierówność