3360446514

18 Część I - Zadania

Dowód. Przypuśćmy, że istnieją tylko następujące liczby pierwsze: pi , P2 , ... , p_r • Niech M = P1P2 •.. p_r i niech M = st, gdzie s = ,at = P3P4 ... p_r • Zauważmy, że liczba naturalna s + £ nie jest podzielna przez żadną z liczb pi , P2 , ... , p_r . Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ s + £ jest różne od 1 (zobacz zadanie 2.1.8).

2.2.1.    Załóżmy, że liczby p\ , P2 , ... , Pk są liczbami pierwszymi. Pokaż, że liczba P1P2... Pk + 1 nie dzieli sie przez żadną z liczb pi, p₂ , Pk-

2.2.2.    Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba n\ + 1 nie dzieli się przez żadną liczbę 1 < q < n.

2.2.3.    Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, istnieje liczba pierwsza większa od n .

2.2.4.    Niech F_n oznacza liczbę Fermata, tzn. F_n = 2²ⁿ + 1. Pokaż, że F_m oraz F_n są względnie pierwsze dla n ^ m.

2.2.5.    Wykaż, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, wykorzystując

(a)    zadanie 2.2.1;

(b)    zadanie 2.2.3;

(c)    zadanie 2.2.4.

2.3. Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki.

Z zasadniczego twierdzenia arytmetyki (zobacz 1.8) wynika następujące

Twierdzenie. Każdą liczbę naturalną n > 1 można jednoznacznie przedstawić w postaci

n=pip₂. ..p_r,

gdzie pi , P2 , ... , p_r są liczbami pierwszymi takimi, że

Pi < P2 < ■ • • < Pr-

Dowód 1. Wykażemy najpierw, że każda liczba naturalna n > 1 da się przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Uczynimy