img054

54

Złożenie funkcji cśqgłych

Załóżmy, że dane sę funkcje f_k:Rⁿ^> A_k —-R (k*l,.*«,p P > l) oraz funkcja F:R^DA-*R,

Oaflnicja 5.1. Złożeniem funkcji F z funkcjami f,f »»f_w nazywamy funkcję g:Rⁿ—•* R określony w następujący sposób:

9(x) - F(f_ł(x).....f_p(x)>    (5.1)

Dest oczywiste, że majęc funkcje fj»...,f_p oraz F nie zawsze można utworzyć funkcję złożony g. Powstaje więc naturalne pytanie:

Drży jakich założeniach istnieje funkcja złożpna g? Można też zapytać: jeśli funkcje f_1#...,f i F sę cięgle oraz istnieje funkcja złożona g, to czy g Jest też funkcję cięgłę?

Pewnego rodzaju odpowiedzi? na powyższe pytsnie jest Twierdzenie 5.3. Jeśli funkcje rzeczywiste f_4ł#**_tf (p^-l) $ę określone w pewnej kuli K(a,r)CRⁿ i cięgłe w punkcie a=(a^,...a_n) oraz funkcja rzeczywista F jest określona w kuli K(b,t)c.R^p i cięgła w punkcie b, gdzie b - {f_Ł(a),...,f_p(a)). to funkcje złożona g (zobacz (5.1)} Jesr określona w pewnej kuli K(a,r^)c K{e,r) i cięgła w ounkcie a.

Dowód. Z cięgłoścl funkcji f^ w punkcie a wynika, że

/\ \J    /\ xc K(a, 5_k(e))=^łf_k(x)-f_k(a)l<£(k-l,.._fp

e>0 <r_k(6) > O xeK(a,r)    (5,2)

Przyjmijmy p.e» t i niech r ■ min ^.(t). Wówczas, Jeśli xeK(a,r,),

¹ Uk4p ^k    1

to na podstawie (5.2), (fj(x).....f_p(x))e K(b,t), Ale funkcja F jest

określona dla. y « (y_1# .♦ •,y_p) € K(b,t)‘, czyli funkcja złożona g jest określona dla xc K(a,r^)C K(a,r).

Pozostaje Jeszcze udowodnić, że g Jest cięgła w punkcie 3. Niech x—►a, gdy n —*• <*> . Wówczas f_k(x) f_k(a) « b_k (k = l_r.,.,p) o^sz

g(x) » F(fj(x)...,_#f_p(8)) —► F(bj,...,b_p) * g(a), co należało udowodnić. Przykłady

1. Niech F:R² 3 (i,I) -Wł-£_f f_t:R^ł3 t — 2t² ♦ 5t ♦ 3.

1 2

f^:R H t —*► t + 3t + 1, Wówczas złożenie funkcji F z funkcjami i f₂ jest funkcję rzeczywisty określony dla każdej liczby rzeczywistej i majęcę postać

gtR^ł3 t —*"|t²+2t*2 • ^(t + l)²*!