301 2

301

7.5. Różniczkowanie numeryczne

. się składników. Załóżmy, że błędy wartości funkcji nic przewyższają co do ^53l0>/‘|^¹ Wtedy oszacowanie błędu dla M»o=i(/i —O wynosi również \U. Roz-WBffi oodobnc do tych. jakie wykorzystano w dowodzie twierdzenia 7.3.7, dają nasię-

_pujące oszacowar.a błędu:

tffo V*% W>Vo

Ry O.SU 1 .SU 5U 17.5U

Wynikają stad oszacowania lUJh, \Uih i \~U/H błędu R_xf dla przybliżenia /₀' równego odpowiednio jednemu składnikowi, dwóm i trzem składnikom z (7.5.3).

Przykład 7.5.4. Zbadajmy błąd obcięcia i błąd zaokrąglenia dla obliczania /'(3) _M pomocą (7.5.3), gdy /(.x)=ln*, U= I0^-6. Zauważmy, że dla błędu obcięcia mamy u5^ik'    '^,>(3)=(2A:)lfi^^k+ł (zob. przykład 7.2.5). Poniżej k jest liczbą

składników:

k	1	2	3
Rr	0.012A^2	0.0033A^4	0.0024/r"
Rxr	0.5	0.75 10- *A-‘	0.92 10°/;-'

Zauważmy, że R_r rośnie wraz z A. a R_xt jesf malejącą funkcją h. Rysunek 7.5.1 jest wykresem w^T skali logarytmicznej związku między Ry i R_xr, a A dla k— 1,2,3. Wartość h jest optymalna wtedy, gdy R_T i R_xr są w przybliżeniu jednakowe. Ponieważ proste R_r są nieco bardziej strome niż proste R_xr. więc h trzeba wybrać nieznacznie na lewo od punktu przecięcia odpowiednich prostych R_r '\R_Xh Dla k—2 i h =0.2 otrzymuje się oszacowanie błędu ckoło 9•IG^-6 i niewiele lepsze dla A=3. Dla Ar — I dobrą wartością jest A—0.03; v.tedy oszacowanie błędu wynosi około 3-10 ⁵.