calkisimp

Całkowanie numeryczne - metoda Simpsona

Załóżmy, że chcemy obliczyć całkę z funkcji f(x) w przedziale <x_p; x_k>. Definicja całki oznaczonej Riemana, mówi nam, że wartość całki równa jest sumie pól obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania. Sumę taką możemy obliczyć w przybliżeniu dzieląc obszar całkowania na n równych części. W metodach prostokątów i trapezów zakładaliśmy, że przybliżenie funkcji w przedziale jest funkcją liniową (przybliżenie odwzorowywało funkcję na odcinek w obrębie przedziału). W metodzie Simpsona w każdym takim przedziale będziemy przybliżać funkcję dla, której obliczamy całkę przy pomocy paraboli.

y

Jak już wspomnieliśmy przedział całkowania <x_p; x_k> podzielimy na n równych części. Szerokość każdej z nich wynosić będzie zatem:    x_k — X

dx = ---

n

Na końcach każdego przedziału funkcja będzie przyjmowała wartości f( x_j.₁) oraz f( x₍) dla i = 1, 2,..., n, gdzie x, = x_p+ i*dx.

W każdym przedziale <x_j.₁; xj> funkcję f(x) będziemy przybliżać przy pomocy paraboli g(x) = a_ix² + bjX + c,

By jednoznacznie określić parabolę, potrzebujemy danych trzech punktów, przez które ma ona przechodzić. Dla każdego przedziału mamy dane już dwa (na końcu i początku przedziału), brakuje nam zatem jeszcze jednego. Dlatego teżdla każdego takiego przedziału wprowadzimy punkt środkowy t, = (x_i.₁ + xJ/2 Pole pod parabolą obliczmy z definicji całki Newtona-Leibniza, która mówi, że całka oznaczona z funkcji w przedziale zamkniętym określona jest jako różnica wartości funkcji pierwotnej na końcu tego przedziału i wartości funkcji pierwotnej na początku tego przedziału. Funkcja pierwotna dla funkcji f(x), to taka funkcja F(x), że jej pochodna równa jest funkcji f(x), czyli F'(x) = f(x).

Zatem Stosując podane twierdzenie do naszego przybliżenia g(x) otrzymamy:

J g_i(x)dc = G_i(x_i)-G_i(x_i_ i)

Podstawiając funkcję pierwotną:

J g,(x)dx = jxf+ ^b-x]+ CjXj - jxf_ j - jx?_, - c_rx, _,

X/- 1

Po pogrupowaniu:

^Xl    a    b

j g,(x)dx = j(xf-xf_ j ) + ~(xj-xf_! ) + C-,(x, Xi — ! )

X/- 1

Po wyciągnięciu części wspólnej przed nawias:

^xi    (    _    \

+

\ gi(x)dx = - — —¹ -(2x_ix_i _ i +x_f². t)

X/- 1

+ 3b_i(x_i+x_i__l) + 6c_i)

Co po odpowiednich przekształceniach _x. możemy sprowadzić do postaci:

J gi(x)dx =

■((a_lxf__l+b_ix_i__l+c_i)+

X/- 1

+ (apcf+ bpCj + c,) + 4(a b,ł, + c_;))

Można zauważyć, że odpowiednie części równania są wartościami funkcji f. ^xi    (    _    \

J g,(x)dx =    ₆'"' (f(Xi _ !) +/(*;) + ¥((,))

X/- 1

Powyższy wzór podaje nam wartość przybliżonej całki w przedziale. Teraz trzeba dodać do siebie wartości, wszystkich przedziałów i tym sposobem otrzymamy wzór na obliczenie przybliżonej całki metodą Simpsona:

x*

J f(x)dx

^xp

(.x_k-x_B)

^7-A/Oo) +f(x„) +

n- 1    n

+ 2 Y_JAx_l) + 4 ^/(O)

/ = 1    / = 1

PRZYKŁAD:

Obliczymy przybliżoną wartość całki dla funkcji f(x) =x² + 3 w przedziale <2, 5> z dokładnością n = 3.

((x_k-_Xp)/6n) * (f(_Xo) ₊ f(_Xn) ₊ 2*(f(x₁) + f(X2» ₊ 4*(f(U) _{+    +} f^))

=((5-2)/(6*3)) * (f(2) + f(5) + 2*(f(3) + f(4)) + 4*(f(2.5) + f(3.5) + f(4.5))) = 3/18 *(7 + 28 + 2*(12+19) + 4*(9.25+15.25+23.25)) =

3/18* (7 + 28 + 62 + 191) = 3/18 *288 = 48 Zatem przybliżona wartość całki wynosi 48.

Co więcej w tym wypadku możemy powiedzieć nawet, że jest to wartość dokładna ponieważ obliczaliśmy całkę dla funkcji kwadratowej (algorytm przybliżał parabole za pomocą paraboli, a więc zrobił to dokładnie).