3

95

} 6.1. Pochodne rc<<iu picrwwcco

Chcemy obliczyć pochodną funkcji odwrotnej x = aretg y. Korzystając ze wzoru (6.1.8) mamy

dx 1    ,

——=cos*x. dy dy

dx

Prawą stronę przekształcamy na podstawie znanej tożsamości trygonometrycznej

COS* X •

1

l+tg*X

i podstawiając tg x=y otrzymujemy

dx 1    1

— = ——j, czyli (aretg y) =—5. dy 1 +y    1 +y

Różniczką dy funkcji y=f(x) nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji przez dowolny przyrost dx zmiennej niezależnej:

(6.1.9)    dy~/'(x)dx.

Różniczka funkcji przedstawia główną czffć przyrostu funkcji.

Na rysunku 6.3 różniczka BC przedstawia główną część przyrostu funkcji BM, odpowiadającego przyrostowi argumentu dx.

Różniczka funkcji znajduje często zastosowanie w przypadku, gdy wielkości występujące we wzorze, pochodzące z pomiarów, nic są dokładne, lecz. podane z pewnym błędem Wówczas błąd wielkości obliczonej ze wzoru daje się wyznaczyć za pomocą różniczki. Wymienimy ważniejsze wzory rachunku różniczkowego:

(6.1-10)    (x")'^aX^,~^l,    x>0, a - dowolna liczba rzeczywista.

(6.1.11) (sin X)'-cos x.

(6.1.12)    (cosx)' = -sin*.

(6.1.13)    (tgx)’ — —■> -1 +tg*x, co$x/0.

cos x

(6.1.14)    (ctgx)'-—(1 -fctg*x), sinx/0.