calkitrap

Całkowanie numeryczne - metoda trapezów

Załóżmy, że chcemy obliczyć całkę z funkcji f(x) w przedziale <x_p; x_k>. Definicja całki oznaczonej Riemana, mówi nam, że wartość całki równa jest sumie pól obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania. Sumę taką możemy obliczyć w przybliżeniu dzieląc obszar całkowania na n równych części. Dla każdej takiej części możemy wyznaczyć trapez, który w przybliżeniu będzie odpowiadał polu obszaru pod wykresem krzywej.

Jak już wspomnieliśmy przedział całkowania <x_p; x_k> podzielimy la n równych części. Szerokość każdej z nich wynosić będzie X_k-X-

dx = -—^p-

n

Taka też będzie wysokość każdego z trapezów. Podstawy /-tego trapezu będą wynosić odpowiednio:

oraz /(x_;)

dla / = 1,2,n, gdzie x₍ =x_p + i*dx.

Pole /-tego trapezu zgodnie ze wzorem wynosić będzie:

dx

P =

Całkę w zadanym przedziale uzyskamy dodając do siebie pola wszystkich wyznaczonych trapezów, wynosić będzie ona zatem:

/(*,)) i f(x,) /Oi') /0₂)    .    ,/O*_i) ¹ f(x„)    .

- -■ ax \--—-• <& + ...+---• ax =

~ % • 0T*o) + 2/0,) +    +... H- 2flx, _,) +f{x_K) ) ==

= dx ■ (+/0,)    ) i-~. +/(x„_ _l) +)

W praktyce w pętli dodajemy do siebie wszystkie wartości funkcji od 1 do n-1, a potem dwie wartości brzegowe podzielone przez dwa. Całość mnożymy przez dx i otrzymujemy w ten sposób wynik.

Takie postępowanie daje wyniki lepsze niż całkowanie metodą prostokątów, ale i tutaj otrzymany wynik nie będzie zawsze idealny - zakładamy przecież, że funkcja w obrębie przedziałów jest liniowa, co w ogólności nie musi być prawdą. Na schemacie powyżej widać, że metoda dość dobrze (ale nie idealnie) odwzorowywuje naszą przykładową funkcję w dwóch pierwszych przedziałach, natomiast w ostatnim przedziale widać wyraźnie różnicę pomiędzy polem pod wykresem a wyznaczonym trapezem. Warto zauważyć, iż im większa liczba przedziałów n z tym większą dokładnością wyznaczymy interesującą nas całkę.

PRZYKŁAD:

Obliczymy przybliżoną wartość całki dla funkcji f(x) = x² + 3 w przedziale <2, 5> z dokładnością n = 3. Obliczmy najpierw szerokość przedziału dx = (x_k-x_p)/n = (5-2)/3 = 3/3 = 1.

Teraz obliczymy całkę. dx*(f(x₀)/2+f(_Xl)+f(x₂)+f(x₃)/2) =

dx * (f(2 + 0*1 )/2 + f(2 +1*1)+ f(2 + 2*1) + f(2 + 3*1 )/2) = dx * (f(2)/2 + f(3) + f(4) + f(5)/2) =

1 *(3.5+ 12+ 19+ 14) =48.5.

Zatem przybliżona wartość całki wynosi 48.5