MATEMATYKA. Zadania maturalne - poziom rozszerzony.
11. Wykaż, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi takimi, że a^l, b^l, c;*l oraz ab*l
. . • i log,c-loghc
to zachodzi rownosc: logab c =-. [MR/4pkt]
loga c + logb c
12. Sprawdź tożsamość (podaj odpowiednie założenia): loga x = ——-——. [MR/4pkt]
b logbx-Iogax
13. Wykaż, że dla dowolnej liczby a>0 zachodzi nierówność:
log2(^a) + log2(;r + a)>--log, k . [MR/4pkt]
log,ła 10
14. Udowodnić, że jeżeli liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny, to liczby --, --,
loga A logb A
--dla A e (0;+oo) tworzą ciąg arytmetyczny. [MR/5pktl
logc A
15. Wykaż, że jeżeli a,be(o,l) to prawdziwa jest nierówność: 4Iogh a + log , b > 4. [MR/4pkt]
_1__1_ 1
log, 2'log, 2'logi, 2
16. Wykaż, że liczby
tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny oraz
oblicz różnicę tego ciągu. Wyraź sumę 10 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego. Rozw: 1; Sio = 10a2 + 35. [MR/5pkt]
17. Udowodnij, że jeżeli xeR,-|l} to (log2 x) 1 + (log, x) 1 +... + (logl993x) 1 =(logl993 x) 1 . [MR/3pkt]
18. Dane są zbiory A= |x: x e R a |2* -1| < 3}, B = \ x: x e R a xlog, 4 + x > 1082 3 + " \.
Wyznacz AoB. Rozw: (l;2). [MR/4pkt]
19. Wykaż, że funkcja f (x) = log(Vx2 +1 - x) jest nieparzysta. [MR/4pkt],
20. Wiedząc, że log5 3 - a , oblicz wartość wyrażenia: log25 3 + log9 -JE.
2a2 +1
Rozw: —--. [MR/4pkt]
4a
21. Wiadomo, że log6 2 = a. Wyznacz log24 36 w zależności od a.
Rozw: —— [MR / 4pkt]
2a +1
llog 2 X|
22. Narysuj wykres funkcji: f (x) = ---. [MR/4pkt]
log2 x
Rozw:
23. Narysuj wykres funkcji: f(x) = log2(-x3-5x2-3x+9)-log2^-^x2-x + |
f(x) = log2(x+3)+l dla D = (-3;l) [MR/5pkt]
Strona 19 z 30