P6080246 (2)

Aby uzasadnić wzór (25) skorzystajmy ze wzoru Eulera-Maclaurina:

y*1    -j    m-1

/ ^f(0^=2[^f(°)^+f(1)]⁺E^>A2/c[^'¹⁾(O)-f^(2/f'¹⁾(t)]-A2_mf^(2,n)(Co).

/c=1

gdzie £₀ € (0.1). Związek współczynników A₂r z liczbami Bernoulliego nie jest tu istotny. Przekształcając odpowiednio zmienną mamy

fcfi    i

<: l ^f(x) ^dx= 2 WW + ^f(%i)]+

(26) Yt

1 + E %^¥^2M)(*/) - ^^(2fc-¹⁾(%i)] - ^^^(2m)tó),

*=1

gdzie £/ g (X/, x_/+1 ). Sumując stronami (26) dla / = 0,1.....2ⁿ -1 i

zmieniając kolejność sumowania w podwójnej sumie (wszystkie składniki w niej zredukują się prócz skrajnych, w ostatniej sumie średni pochodnych zamieniamy pochodną w innym punkcie) otrzymamy