289 2

7.4. Całkowanie numeryczne 289

_Ol*owani* przez **&i, wyłączanie łatwo calfcowaln^o _skw t

osobie*. specjalne wzory całkowania (konstruowane I J^    ^

oznaczonych) mogą być użyteczne i wtedy, gdy przedział ^ ^{WSpÓłczyiłnikó}*' nic-

W różnych częściach przedziału długość kroku. Ponieważ

f-unkcje podcałkowe (lub ich pochodne) maja    *’^an,a nieskończony.

-~ZoJ*ch nrzedziału całkowania. Wtedy w k-,w    ^{,nny r2ąd w}«elkości

^y * ^kiUej trzeba wybierać inną

f=j+f+-+ i +J■

a a ci    c* - i Ck

więc każdą z całek po prawej stronie można obliczać niezależnie od pozostałych. Ciekawym ćwiczeniem może być wynalezienie strategii automatyzacji przedziału na podpr2e-dź alv i wyboru w każdym z nich odpowiedniej długości kroku.

Ody funkcja podcałkowa jest oscylująca, wtedy w zwykłych metodach całkowania dłuęość kroku musi być mała w stosunku do długości fali; w wielu zastosowaniach jest to bardzo kłopotliwe ograniczenie. W takich przypadkach są niekiedy pożyteczne wspomniane wcześniej sposoby, jak wyłączanie składnika zawierającego osobliwości lub specjalne wzory’ całkowania. Próc2 tego, dla całek postaci

oj

iI I ^    / = f f U)*m (<?U)K>c.

u

gdzie rył*) jest funkcją rosnącą, a funkcje /(.v) i g(x) można lokalnie przybliżać wielomianami, stosuje się następującą metodę. Niech będzie

Kfil:--    gdzie u„ — f/(x)|sin(^t»)|dx.

są kolejnymi zerami funkcji sin(<?(*)). Zbieżność tego szeregu przemiennego można przyspieszyć za pomocą wielokrotnego obliczania średnich; zob. § 3.2.1.

7.4.4. Wzór sumacyjny Eulera-Macłanrina

Twierdzemf 7.4.2. Wzór sumacyjsy Eulera-MaClaORINa. Niech T(h) będzie sumą ¹ kvrof“ trapezów określoną w (7.4.2). IV tedy

T[h)= f/(.t)dx+Jj;■'[/!;(.)-/•(<!)]+

4

+-jrU'>⁶t/'^s’(W-/⁴⁵>(0)]+...

...+^A^Zr[/^IJ"¹>(i»-/^<2''¹>(«n+⁰i^,,I'^ł2' <»-*«•

c₂, mają funkcję iwanącą

(7.4

Jl)

2    .    .    hę"-f-1

\+c₂h + c*h +ć*h + •-- = -_ -j—r

2 e — I

aomery,-*