295 2

295

7.4. Całkowanie numeryczne

_rtfcorz>*^{tano ,u or,}°B°^naln0f;,'^t • • ^Majv>' ^tgA

I    M    ^M    m

v j /> V /*,$(*!> ?«-!<*/> + Z 'V(*,)= I -V(*,),

Z. ^,Jt jto    i-o    i = 0

i>*0

yf. t (/=0. ¹_____ ^m) i^{esl zerem} wielomianu ę>„_+t. Prócz lego

»    -i

J r(x)w(x)<fcr*>» Z ^_/r(x₄).

a    1=0

ramiy&półcz^niki .4j wybrano tak. aby wzór był dokładny dia wszystkich wielomianów stopnia /r. Dowód jest więc zakończony.

TwiERPZfNte 7.4.4. Współczynniki A-, kwadratury Gaussa są dodatnie.

Dowód. Wzór jest dokładny dla funkcji f(x)=Sf(x), gdyż jest to wielomian stopnia 2_m. Ponieważ, jednak 7 , =0 dla yV/, więc

f £*(.*) w(x)rfx

>0.

ó;(x,)

f 5f{ x)w(x)dx A i ó?( x _t).    czy li A,- —

Tw»erd/fni£ 7.4.5. Reszta kwadratury Gaussa Jest dana wzorem

2\

(2m-

gdzie

Staią e_m można wyznaczyć. stosując tę równość do pewnego wielomianu stopnia 2m + 2-

Dowód. Niech Q(x) będzie wielomianem stopnia 2/>» • I spełniającym warunki za-

^<lan?a interpolacyjnego Hermite’a (zob. §7.3.7): Q(xd=Ji, Q {Xi) =fi (/»0, 1.....m).

Kwadratura Gaussa jest dokładna dla wielomianu {?(.*), czyli

jQU)w(x)rfjr- T    Z ^Aifi-

Stąd

Ż ^Aif{- i f{x\w(x)dx=* l(Qlxl~f{x))w(x)dx .

Pon

j&WWiiź jednak zadanie interpolacyjne Hennite'a jest granicznym przypadkiem zwykłej ’ - •-•^erP°^,acji (gdy pary punktów zlepiają się), więc z (7.3.2) wynika., źe

fⁱ⁷’^a+2,ić\

(2m + 2)!

y&bf i współczynniki A, kwadratur Gaussa można znaleźć np. w [29].

flx)-Q(x)=———- «£*.,<*).

^•.i.5^.ótłzi to słuszności twierdzenia.