299 2

299

7.4. Całkowanie numeryczne

tf Stałą Eulera określa się wzorem

}’= lim f(.ty),

tf-:C

gdzie

f(.V)=,₊i ₊ ...₊-l_T+±->nN.

,_a^ Wykazać. Ze dla każdego całkowitego .*/ jest

, = FrM)+_I‘_JM-^,-,J₀M---3^ AT'¹ -.... _s<dzie sumy częściowe są na przemian większe i mniejsze od y.

(b) Obliczyć siedem cyfr ułamkowych stałej y, przyjmując, że M = 10, JTn^-1-=2.92896825, In 10=2.30258509.

(cj Pokazać, jak można użyć ekstrapolacji Richardsona do obliczenia y za pomocą następujących wartości:

,Vf	!	6	4	8
F{M)	0.50000	0.55685	0.57204	0J7592

7.5. Różniczkowanie numeryczne

Spotkaliśmy się już z zadaniem przybliżonego obliczania wartości pochodnej funkcji, ś<ly jest dana tablica wartości tej funkcji i gdy tę funkcję można lokalnie dobrze aproksy-mowai wielomianami.

Wiemy, że pochodne można przybliżać za pomocą różnic lub ilorazów różnicowych; przy padek punktów równoodległych opisano w twierdzeniu 7.1.5. przypadek ogólny (mniej dokładny) ~ w twierdzeniu 7.3.2. Wiemy, żc dla punktów równoodległych błąd obcięcia możr.a zmniejszyć, korzystając z ekstrapolacji Richardsor.a; zob. przykład 7.2.5.

Ogólne rozumowania z § 7.2.1 dotyczące konstrukcji wzorów odnoszą się też do róź-UK.zkov.ania numerycznego. Jeśli Q{x) jest dobry'm przybliżeniem wielomianowym funkcji j*) można używać jako przybliżenia wielomianowego funkcji f '(x); z reguły Jednak, dokładność takich przybliżonych wartości pochodnej jest gorsza niż dokładność wartości funkcji.

^^YKLAD 7-^5,1 Niech będzie /(.v) = exp(x). Q(x)~ I +x-kx\ Wtedy /-/'“/" =

¹ ^’<*)■=* l+*. Q"(x)=l, £'(.*)=0. Dla x e (—0.1, 0.11 ntamy

ma\|/rjc)-g(x)i«2-10    max|/'{*)-0(x)|*5’ 10~\

max|/-(x)-g’ (-x>i* ^l0"‘-    max|/’''(x)-g''^,(jc)|*I.

dwóch następnych przykładach będą podane pewne wzory, które powstają przez .^0V’*^lTue wielomianu interpolacyjnego. Bardziej elegancki dowód (korzystający

°?^Krątorowej) znajduje się w § 7.6.