291 2

7.4 Całkowanie numeryczne

291

tak-

fG/r)rff=0 <j> I).

Sttf*

Oznaczmy teraz

c_i+Ia)“Ci-i(0) o>D-

Gi*ł(Q)HHV* V»-

Otrzymujemy więc rozwinięcie (przy pominające (7.4.12))

F(0))- V 0_+l(^>())-F^(0|)+( - I)"}.

I)o zbadania reszty lepiej nadaje się następująca postać (gdzie zakłada się, że p jcsi parzyste):

j'r(,)d!=i(F<i)+f(0))- 'i ci*,(f^u,(^,)-f^,'^,(0))-

o    i~¹

-cJF'"⁰ (l)-F<^?'^ł,(0»+ JF^iKyi)*.

o

Przyjmijmy teraz, że x=^_ _t -ł    )=/(>). Wtedy /^(/jW^/^far).

J /(_Jc)dx-*jF(l)A-ifc(/_ł__ł+/,)- I

*:-i    0    ż=t

P-2

gdzie

(7.4.15)    ł?, = 5i<*_ł>[F"'^-J>(1)— 5'^iJ’^_I\&)3 — /i J f^u'‘(t)C/t)<ii^O(h^r*').

ó

Sumując ie całki dla / od 1 do «, otrzymujemy

f/(*)dx«T(/»)- 'Y cj>>l*^r' V^u\b)-f^u\a))- t R_t.

j»i    i=i

n

gdzit- y    łtÓ(/i'^+t)'a».{fr — a)0{h^p). Jest to równoważne wyrażeniu (7.4.12).

^w/x>_rt    Z (7.4.13) wynika, że

^J?śfł

gry F J^^5t parzysrf. to e_p—G_p{t) w<* w/u sowi z/ro/: jak c„. (Dowód tego faktu nie jest metoda, dająca wiele ciekawych ubocznych wyników, polega na roz-*^,n;^ęc,u funkcji ('/. (x) w szereg Fouriera w przedziale (0, 1) i sca! kowani u tego szeregu ^rd*y: Zob zadanie 3 z $ 9.2). Wynika -.ląd, ie Jeśli F**(i) w/p zmienia znaku w (0, 1),