287 2

287

7.4. Całkowanie numeryczne.

PKZYKŁ*!> 7.4.4. Całkowanie przez części.

/= J    2x¹'V]i—2 f x^1,2e*dx =

0    o

=2e-2[\x*'¹e%+\]x™e*dx=le+\\x^ir2e^xdx.

o    o

Ostatnia całka ma słabą osobliwość w zerze. Jeśli konieczna jest duża dokładność, to celowe jest jeszcze kilkakrotne całkowanie przez części, zanim zastosuje się metodę numeryczną.

Gdy stosuje się wzór prostokątów i metodę Romberga, warunkiem wystarczającym zbieżności dla h-*0 jest ciągłość funkcji podcałkowej, ałe szybka zbieżność wymaga większej regularności.

i

Przykład 7.4.5. /= f x~*e^x dx. Funkcja podcałkowa ma osobliwość blisko lewego o.i

końca przedziału. Przekształcamy tę całkę tak:

1    i

7= f x~\l +3C-F$x²)dx+ j x~\e^x-1 -x-*x²)dx. o.i    on

Pierwszą całkę można łatwo obliczyć analitycznie. Drugą można wyznaczyć numerycznie, gdyż funkcja podcałkowa i jej wszystkie pochodne są umiarkowanie duże. Zauważmy jednak znoszenie się składników w funkcji podcałkowej.

Można też obliczyć tę całkę rozwijając funkcję podcałkową w szereg, albo użyć lego rozwinięcia w podprzedziale. np. [O.L, 0.3], a w pozostałej części, tj. w [0.3, 1]* zastosować metodę Romberga.

Przykład 7.4.6. Specjalny wzór całkowania. Rozważmy całkę J(l+x)(e*—1 )~^lf2dx.

ł unfcęja podcałkowa ma postać x~^iU/(x), gdzie f(x) można łatwo aproksymować lokal-°^{ie 2a} P°mocą wielomianów. Korzystając z metody współczynników nieoznaczonych ^z • przykład 7.2. J), można otrzymać wzory przybliżone dla takich całek — np. wzór

31.

J x '²f(x) (łx—A₀f(Q)+A_if(h)+A₂J (2/i) 4- A >[3h), o

^kładnjk gdy 7 (x) jest dowolnym wielomianem trzeciego stopnia. Natomiast w przedziale

i można zastosować metodę Romberga. (W tym pr:-■•/kładzie jest też skuteczne pod-^wienie

P^raktyce występuje C2ęsto nieskończony przedział całkowania. Dla całek postaci

}f[x)dx