148 3

Rozdział XV

CAŁKI NIEOZNACZONE. CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE I CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

§ 15.1. UWAGI OGÓLNE O CAŁKOWANIU

Funkcją pierwotną funkcji /(x) w przedziale a<x<b nazywamy każdą taką funkcję F(x), której pochodna F\x) równa się danej funkcji/(x) dla każdego x z przedziału a<*< <b. Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą; np. funkcjami, których pochodne są równe 2x, mogą być x²+3, x² — 5 lub ogólnie: x² + C.

Całką nieoznaczoną (nieokreśloną) funkcji /(*), oznaczaną symbolem

J f(x)dx,

nazywamy wyrażenie F(x) + C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji /(jc), a C jest dowolną stałą.

Jest więc

(15.1.2)

\f(x)dx=F(x)+C , gdzie F'(x) =f(x).

§ 15.2. PODSTAWOWE WZORY RACHUNKU CAŁKOWEGO Zestawiamy podstawowe wzory rachunku całkowego:

+ C, a# —1, x>0.

(15.2.1)

C    x^a+l

x°dx = ---

J    u + 1

Gdy a jest liczbą naturalną, to zastrzeżenie x>0 odpada; gdy a jest liczbą całkowi ujemną, to zamiast x>0 wystarczy założyć x#0.

Przykład. Podajemy kilka szczególnych przypadków wzoru (15.2.1):
O II <3	wówczas	J dx=x+C ;
b) a=-i,	wówczas	f dx r J j%~^2'^Jx+c’	x>0 ;
CN 1 11 a 'o'	wówczas	r dx i — ----1-c, J X X	.

I

dx

— = ln |>r| +C ,    x^0 .

J e^xdx = e^x + C.

I

<fdx---I-C, a>0,    1.

In a

j^- cos x dx = sin x + C .

| sinxdx= — cosx + C

— = tgx + C, cosr^O.

dx

cos" x dx

—r-5— = -ctgx + C ,    sinjc/0-

sin x

dx

\^fl — x

= arcsin* + C = — arccos x + C',    — 1 <jc< 1.

15.2.10)

(15.2.11)

H5.2.12)

(15.2.13)

(15.2.14)

(15.2.15) ('5-2.16)

I

dx

X²-łrl

} sinhxt/x=coshx + C. J cosh.rt/;c=sinh;c + C . dx

₂—- = arctg x + C= - arcctg x + C'.

cosh² x

dx sinh² x

dx

vr+p

dx

tghx + C .

- -ctghx + C.

= arsinh;t-t-C=ln(x4-\/:v:² + l)-ł-C .

= arcosh;c-l-C = ln |x+Vx² — l| + C ,    |x|>l

^{§ ls}-3. WŁASNOŚCI CAŁEK NIEOZNACZONYCH

(153 t\

^ "O Całka sumy równa się sumie całek, tzn. (jest to tzw. addytywność{^v) całki wzglę-fankcji podcałkowej).

^ _ I (f(x)+g(x))dx= $f(x)dx+ J g(x)dx .

11 Od łacińskiego wyrazu additwus, co oznacza: dodawalny.