293 2

293

7.4. Całkowanie numeryczne

Przyklap 7.4.10. Dla Int A/!)jcst prawdziv/y następujący wzór asymptotyczny StirHnga:

(7.4.1^ gdzie

X=lim pn(.Vl)-*(A’-i)ln<V-<V]~0.9189?8. Metodami elementarnej analizy do-

odzi si? "że K=^1d2te (zob. Courant [2], >tr. 363) Wyznaczymy później tę stalą nume-e Kolejne sumy częściowe w (7.4.16) są na przemian większe i mniejsze od In(4/!). Szereg nieskończony jest w istocie rozbieżny dla każdego M, ale urywając go na najmniej-^jn składniku, można otrzymać godną uwagi dokładność.

' _Aby udowodnić rozwinięcie (7.4.16), użyjemy wzoru Eulera-Maclaurina dla

f(x)-\nx.    h*= I.

Wtedv

f ^l2r * ^li(x)=(2r)) x~²'~^l>0.

Dlatego błąd można ściśle oszacować za pomocą pierwszego odrzuconego składnika. Rozważmy teraz całkę

v

J ln.v</A = jVln N — N - Af 1 n 4/+ Af.

M

Wzór Eulera-Maclaurina daje równość

tt

V 1 n n + i 1 n A1 —± 1 n «V = M n N - N - MI n M + M -

a -*M • I

-i₍.v '-.v-')₊7^w--,v-V

’ - N"⁷) —...

4!    ,    ,    6!

--⁵) +---(A-T

30240    1209600

Ponieważ, jednak

więc

3<.0⁴¹

W¹-d55*V^S + -

ln(10!j lOlnIO j In 10

-10 ^{2 3} /12 10 ¹/360

1

15.104412 -23.025851 1.151293 10.000000 -0.008333 0.000003 K = 0.918938

2

ln»/.

3

»-w-* i

MN!)- i In ,\-N\ n N + N + 0(N~² ) =

* ln(iVf l) -[ \nM - M In M+M -    ² 4

W*ót (7.4.16) wynika stąd przez przejście graniczne ,Y-*oo. Obliczymy teraz K.

Wyznaczenie K. (W (7.4.16) przyjmujemy A/= 10.)