2 (1687)

10

Liczby zespoione

Notka historyczna. Liczby zespolone pojawiły się po raz pierwszy w XVI wieku. Wykorzystywano je (używając formalnie symbolu y/~—I) do obliczania pierwiastków rzeczywistych wielomianów stopnia trzeciego (wzory Cardana*). Pierwszy opis tych liczb podał w 1579 roku BombelliL Liczby zespolone odtąd były stosowane do obliczeń, choć ich istnienie wywoływało spory. Jak podaje Laurence Young, w 1820 roku studenci inżynierii wzniecili w Paryżu bunt przeciwko liczbom zespolonym twierdząc, że są one zupełnie bezużyteczne, a ponadto w ogóle nie istnieją. Nie dziwi zatem fakt, że trzy wieki wcześniej pionier ich użycia - Cardano - został uwięziony pod zarzutem uprawiania czarnej magii. Pierwszą ścisłą teorię liczb zespolonych podał w XIX wieku GaussL Jego interpretacja geometryczna liczb zespolonych oraz wprowadzona symbolika są stosowane współcześnie.

o Ćwiczenie 1.1.2

Narysować na płaszczyźnie zespolonej liczby:

a) 21 = (3,2); b) = (-3,1); c) = (10,0); d) _H = (0, -4).

® Definicja 1.1.3 (równość, suma i iloczyn liczb zespolonych)

Niech Zi = (xi,yi), z₂ = (x₂,y₂) będą liczbami zespolonymi.

1. Równość liczb zespolonych określamy przez warunek:

Uwaga.

cyjnie prze

o Ćwiczenie

Niech z₁ =

^a) ^zi + z_2i

• Fakt 1.1.5

Niech z₁. z₂ 1- dodaw

2. dodawana

3- dla. każdej

zi = 2:2

def

Xi = X₂,

yi = 2/2-

4. dla każdej

2. Sumę liczb zespolonych określamy wzorem:

def ,    v

^1+^2 = Og +X2,yi + yi) ■

5. mnożenie

3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:

6. mnożenie

ZI-Z2 = (X!X₂ ~yiV2,Xiy2 +X₂yi) ■

dla każdej

dla każdej spełnia rów

Rys. 1.1.2. Interpretacja geometryczna sumy liczb zespolonych.

_ 9- mnożenie li

“Geronimo Cardano (1501-1576), matematyk, filozof i leLarz włoski. ^łRafFaele Bombelli (1530-1572), matematyk włoski.

¹ Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matematyk, astronom i fizyk niemiecki.