40 (445)

1

Liczby zespolone

Pierwszy tydzień

Przykłady

Przykład 1.1

idiiHiaSiśśaiśŁy

Wykonać podane działania na liczbach zespolonych:

a) (1 + 2.) (3 - 2z);

y rtrfrfSptJeprSpT_ j^-

^c)    2Ti    ¹

b) (—2 + \/3i)³;

(5+ »)(-!+ 2Q (2 +i)²

Rozwiązanie

Wykonując obliczenia na liczbach zespolonych pamiętamy, że własności działań, a co za tym idzie, wzory wyprowadzone na ich podstawie, są analogiczne jak dla liczb rzeczywistych. Ponadto i² = —1. a) Mamy

(1 + 2t)(3 - 2i) = 1 • 3 - 1 • 2« + 2i • 3 - 2x • 2t = 3 - 2i + 6« + 4 = 7 + 4«

b) Korzystając ze wzoru

(o + 6)³ = a³ + 3a²i + 3 ab² + 4³

mamy

(-2 + V3i)³ = (—2)³ + 3(-2)²v^/3i + 3(—2) (\/3.)² +

= -8 + 12y/3i + 18 - 3\/3i = 10 + 9^1.

•.) Korzystając ze wzoru — = mamy

3 - i _ (3 - i) (2 - «')    6 — 3z — 2ł — 1    5 - 5i

2+i (2 + i) (2 — i) ^—    5    ~    5    ~ ¹ ~

d) Wykonamy najpierw działania w liczniku i w mianowniku, a następnie dzielenie jak w poprzednim przykładzie. Mamy

(5 + i)( —1 + 2i) _ -5 • 1 + 5 • 2t - i • 1 + 2t² -5 + lOt - i - 2    -7 + 9>

(2 + i)²    “    2² + 2 • 2i + «²    “ '    4 + 4i - 1    “ 3 + 4i

(-7 + 9ł)(3 - 4i) _ -7 • 3 + 7 • 4i + 9t • 3 - 9i ■ 4t (3 + 4.)(3 - 4.) ~    3² — (4ł)²

— 21 + 28i + 27» + 36 _ 15 + 55t    3 , 11.

“    9 + 16    "    25    ^_5 ⁺ T*'

'1 V II, I .

. Przykład 1.2

Niech z = z + iy, gdzie x, y 6 R Znaleźć:

a) Re (iz²); b) Im    ^c) l^⁴1 •

Rozwiązanie

a)    Mamy

iz² = i(x + iy)² = « (z² + 2ixy - y²) = —2xy + i (z² - y²) .

Zatem Re (iz²) = —2xy.

b)    Dla z 1 mamy

1    1    z — 1 — iy    x — 1 — iy    x — 1 — iy

z -1 x + iy - 1 (z + iy - l)(z - 1 - iy) (z - l)² - (»y)² (z - l)² + y²

Zatem Im —--rf-—j.

z — 1 (z — l)² + y²

c) Skorzystamy z własności modułów liczb zespolonych |zⁿ| = |z|ⁿ. Mamy |z‘| = |*|⁴ = ^\/z² + y²j = (z² + y²)² = x* + 2 x²y² + y*.

Przykład 1.3

Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć podane liczby zespolone: a) i; b) —1; c) 2 + 2i; d) —4i.

Następnie, posługując się rysunkiem oraz interpretacją geometryczną liczby re^,lfi, przedstawić zaznaczone liczby w postaci wykładniczej.

Rozwiązanie

Modułem liczby zespolonej z danej w postaci wykładniczej re‘* jest r, a argumentem p. W interpretacji geometrycznej r jest odległością na płaszczyźnie zespolonej liczby z od O, a p jest wyrażoną w radianach miarą kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią półoś osi rzeczywistej i wektor wodzący z.