52 (321)

112

Funkcje zespolone zmiennej zespolonej

Pochodne cząstkowe funkcji

v(x, y) = cli x sin y

u(x, y) = sh z cos y,

względem zmiennych x,y są równe

dv    dv

— = sh z sin y, — = cli z cos y. dx    dy

du    du    ,    .

— = cn x cos y, —- = — sh x sin y, a x    dy

Tak więc

du _ dv du _ dv dx dy' dy dx

dla (x,y) 6 /i², co oznacza, że równania Cauchy’ego-Riemanna są spełnione na całej płaszczyźnie.

b) Niech z ^ 0 i niech z = z + iy, gdzie x,y € R. Wtedy korzystając z równości zz = |z|² otrzymamy

1	z^2	2	2	(z	- «y)^2 _*^2	- y^2 - 2zy»		2 2 ^1 -y ■	-2 zy
z^2 _	Z^2Ź^2	\*	I^4	(z^2	+ y^2)^2 (	i^2 + y^2)^2		(z^2 + y^2)^2 (z^2	+ y^2)^2
Pochodne	cząstkowe		funkcji
			u(z	y)	z^2-y^2(z^2 +y^2)^2’	«(*.y)	(	-2xy r^2 + y^2)^2
względem	zmiennych		z,y	są	równe
			du		— 2z^3 + 6zy^2	du	2y^3	- 6z^2y
			dx		(z^2 + y^2)^3 '	dy	(z^2	+ y^2)^3 ’
			dv		O Sb 1 Sb C-ł H	dv	-2z^3	+ 6zy^2
			dx		(z^2 + y^2)^3 '	dy	(z^2	+ y^2)^3 ’
co oznacza	, że
					du dv	du
					dx dy^1	dy ~	dr
dla (z,y)	e ii^2	\{(o,	0)},	czyli w całej dziedzinie.
Przykład	4.2		tfifHWjjW ' • K*UltUrht	burii	i*^1 dłiffl.MrtłiP Błłffifl?.	M	iliM		IkttM

Zbadać, w których punktach podane funkcje mają pochodne, a w których są holomorficzne. Obliczyć pochodne w punktach, w których one istnieją:

^a) f(^z) = z Re (z²); b) /(z) = z |e^,z|.

Rozwiązanie

Warunkiem koniecznym istnienia pochodnej funkcji /(z) = u(x, y) -f iv(x, y) w punkcie zo = xo + iyo jest spełnienie w tym punkcie równań Cauchy’ego-Riemanna

^(x₀,yo)=g(z₀,yo),    =

a) Najpierw znajdziemy część rzeczywistą u(z, y) oraz urojoną v(x, y) funkcji /(z). Mamy /(z) = (z + ty) Re (z + iy)² = (z 4- ty) Re (z² — y² + 2zyt)

= (x + iy) (z² - y²) = z³ - zy² + i (z²y - y³) ,

Czwarty tydzień - przykłady

113

więc

u(x, y) = x³ - xy², v(x, y) = x⁷y - y³.

Obliczając pochodne cząstkowe tych funkcji otrzymamy

du

du ₂    2

^ = ³¹ ~^V '

dy

= -2xy,

dv    dv

d^ = ^2XV’ Ty

2 _n 2 x - 3y .

Wyznaczymy punkty, w których funkcje u,v spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna. Mamy

du dv

dy

o 2    2    2    ,    2

3x — y = x —3 y -2xy = —2xy

l o =

2 , 2 _n

+y = 0

1 = 0

y = o

dx

du _ dv

dy dx    *

Zatem równania Cauchy’ego-Riemanna są spełnione tylko w punkcie zo = 0. Ponieważ pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji u(x,y) oraz v(x,y) są ciągłe w punkcie (0,0), to pochodna /‘(0) istnieje i jest równa

/'(0)-ijf(M) + i£<M)-0

Natomiast badana funkcja nie jest holomorficzna w żadnym punkcie, bo gdyby tak było, musiałaby istnieć jej pochodna w pewnym otoczeniu tego punktu, a pochodna - jak wykazano powyżej - istnieje tylko w punkcie zo = 0.

Uwaga. Możemy też wykazać istnienie pochodnej /'(0) i obliczyć ją korzystając bezpośrednio z definicji. Mamy

_mm ,_{im    lim} [(*«>»]. _{Bm Re((Al)}._]=0.

Az-0    Az    Az-0    Az    Az—*0    ¹    1

b) Ponieważ

/(z) = (z - ty) |e^,(l+'^!,)| = (z - ty) |e^,I~^v| = (x - iy)e~^y = xe~^y - iye~^y,

więc część rzeczywista u(z,y) oraz urojona v(r,y) funkcji /(z) są dane odpowiednio wzorami

u(x,y) = xe~^y, v(x,y) = —ye~^v.

Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu tych funkcji są równe

0

z = 0.

du

dv

dv

du _

dx    ' dy    ’ dx    dy

Sprawdzamy teraz, w których punktach spełnione są równania Cauchy’ego-Riemanna. Mamy

du _ dv

dx dy    f e~^y = (-1 + y)e~^y

^u__£t>    | -xe~^y = 0

. dy dx

Ponieważ pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji u(x,y) i v(x, y) są ciągle w punkcie (0,2), więc /'(2t) istnieje i jest równa

/"(20 — |~(0> 2) + ,|~(0i 2) = e~^a.

Badana funkcja nie jest holomorficzna w żadnym punkcie z tych samych powodów, co funkcja w poprzednim przykładzie.

= (-1 + y)e"

r y = 2

\ x = 0

z = 2«.