chądzyński9

ROZDZIAŁ 2

Funkcje zespolone

2.1. Funkcje rzeczywiste zmiennej zespolonej

Zadanie 1. Niech f : C D G —► M, Pokazać, ze następujące warunki

są równoważne:

(a)    funkcja f jest ciągła,

(b)    dla każdego aęl zbiory

{z € G : f(z) > aj i {z € G : }{z) < a}

są otwarte w G,

(c)    dla każdego a £ K zbiory

{z E G : f(z) > a} i {z € G : /(z) < a} są domknięte w G.

Rozwiązanie. (a)=4>(b). Oczywiście zbiory

{z £ G : f(z) > a} =    oo)),

{z E G: f(z) < a} = /“¹((—cX5,a))

są otwarte.

(b)=^(a). Weźmy dowolną liczbę e > 0. Wtedy zbiór

{z € G : f(z) > /(z₀) — s} n {z G G : /(*) < /(*₀) + e]

jest otwarty i zawiera zq. Zatem istnieje liczba S > 0 taka, że f(z₀) - £ < f(z) < f(z₀) + e dla z e G i d(z,z_Q) < S. To daje ciągłość funkcji f.

(b)<ś=>(c). Oczywiste.

To kończy rozwiązanie.    O

Zadanie 2. Niech dany będzie zbiór zwarty K C C i niech p; C 9 z >-*• infweKd(z,w) 6 E+, gdzie d jest metryką sferyczną. Pokazać, że funkcja p jest ciągła.

9