106

106

7. Wektory losowe

Kowariancja

Fakt 7.3.1.

Jeżeli h jest ciągłą funkcją rzeczywistą n zmiennych rzeczywistych oraz

jest n-wymiarowym wektorem losowym, to również Z = h{X_x j... _}X_n) jest zmienną losową.

W szczególności, zmiennymi losowymi są sumy i iloczyny zmiennych losowych. Zwróćmy uwagę, że z tego faktu dla sum korzystaliśmy już wcześniej, formułując na przykład twierdzenie 2.2.2, choć nie był on jawnie sformułowany. Korzystając z powyższego faktu określimy kowariancję zmiennych losowych.

Definicja.

Jeżeli X i Y są zmiennymi losowymi, to ich kowariancją nazywamy liczbę określoną wzorem

Cov(X,y)=E((X-EX)(Z-EK)) .    (7.3.1)

Podobnie jak i dla wariancji, ze wzoru (7.3,1) wynika prostszy wzór:

Cov(X,T) = E(XY) - (EX)(E7).    (7.3.2)

Macierz

kowariancji

Z porównania wzorów (2.2.8) i (7.3.2) wynika następujący wniosek. Wniosek 7.3.1.

Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to Cov(X,K) = 0.

Trzeba tu zwrócić uwagę, że implikacja odwrotna jest nieprawdziwa. Istnieją bowiem zmienne losowe, które nie są niezależne, a których kowariancja jest równa zeru. Ze wzoru (7.3.1) wynika też, że D²X = Cov(X,X).

Definicja.

Jeżeli X = (X_Ł,... ,X_n) jest /i-wymiarowym wektorem losowym, to macierz R określona wzorem

D²X[ Cov(X,,X₂) ... Co v (X,, X„) Cov(X₂,X,) D²X₂ ... Cov(X₂,X„)

Cov(X_n,X₁)

D²X„

Współczynnik

korelacji

nazywa się macierzą kowariancji wektora X.

Wprowadzimy teraz współczynnik korelacji p zmiennych losowych X i Y. Jest on określony wzorem

p = p(X,Y) =

Cov(X,Y)

\/d⁵xVd^jy’

(7.3.3)

Współczynnik korelacji ma kilka charakterystycznych, sformułowanych poniżej własności.