106

106

7. Wektory losowe

Obliczamy kolejno

4    4

E(xr) = E E '7^pr(* ^{= i}>^Y = J) = ²⁵⁶ >

7=0 i=0

EX = 1.3,

EX² = 2.9,

D²2ć = 2.9 — (1.3)² = 1.21,

EF = 1.15,

Ey² = 2.415,

D²F = 2.415 — (1.15)² = 1.0295.

Zatem

0.926.

2.56-1.3-1.15 ^1 21 -1.0925

b) Wartość współczynnika korelacji wskazuje na bardzo silną zależność liniową zmiennych losowych X i Y. Prosta regresji Y względem X ma postać y = ax + j3, gdzie

_a= /SF₌ cęx_££L/Ę7₌o^

V o-x J(p>_X)(&r)^]l^{D X} D X

p =EY - aEX.

Stąd

a w 0.88, P « 0.00578.

Ostatecznie otrzymujemy w pewnym przybliżeniu y = 0.88x4-0.006.

Przykład 7.2.2.

Wektor losowy (X,Y) jest określony tak, jak w przykładzie 7.1.3. Obliczyć współczynnik korelacji zmiennych losowych X i Y.

Rozwiązanie.

Współczynnik korelacji obliczamy ze wzoru

e(xf)-(ex)(ef)

^P ^(D²x)(D²y)

Ponieważ X i Y mają rozkład jednostajny na (0,1), więc EX = EY = 1/2 i E>²X = D²y = 1/12. Wystarczy więc obliczyć E(Xy). Mamy

E(Xy) = JJxyf(x,y)dxdy — 2 JJ xydxdy.

R2    K