108

108

7. Wektory losowe

Rozwiązanie.

Dla n = 48 par wyników obliczono xj = 7.90, x₂ = 11.02,    = 18.09, s₂ — 32.98, s, =

4.25, s₂ = 5.74, oraz r = 0.48. Parametry prostej regresji: a = 0.36, /3 = 2.19. Jak widać, zależność liniowa między wynikami obu kolokwiów, nie jest duża, ale nie można jej pominąć. Wynika to ze sprawdzenia obu postawionych hipotez,

a) Obliczamy statystykę

vT

-yJn — 2 =

0.48

- (0.48)^:

= \/46 = 3.71.

Ponieważ liczba stopni swobody jest równa n — 2 = 46, to statystyka t ma rozkład w przybliżeniu normalny, więc t_a = 1.64 i odrzucamy hipotezę H₍₎ na korzyść H_].

b) Dla p₀ = 0.6 obliczamy statystykę

^u=(^u5K^log^~^,o*^r^)'^⁼~^,-^,S431'

gdzie logx jest logarytmem dziesiętnym z liczby x. W tym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia H_Q.

c) Dla p₀ = 0.7 obliczamy w ten sam sposób U = —2.35971 i odrzucamy hipotezę H₀ i przyjmujemy H_] : p < 0.7.

Przykład 7.2.4.

Przeprowadzono 500 obserwacji pewnego zjawiska, które charakteryzuje się cechami X i Y, mierzonymi stopniem nasycenia od 0 do 1. Wiadomo, że łączny rozkład (X,y) jest zbliżony do normalnego. Obserwacje każdej z cech podzielono na 5 klas równej długości. Zaobserwowano następujące liczby wyników w poszczególnych klasach ze względu na obie cechy (plik stopień.datj;

	[0.0-0.2)	[0.2-0.4)	[0.4-0.6)	[6.0-0.8)	[0.8-1.0]
[0.0-0.2)	34	46	33	47	12
[0.2-0.4)	43	42	39	23	0
[0.4 — 0.6)	37	48	13	0	0
[0.6 — 0.8)	45	21	0	0	0
[0.8- 1.0]	17	0	0	0	0

Wyznaczyć przedział ufności dla współczynnika korelacji p. Przyjąć 1 — a = 0.95. Rozwiązanie.

Najpierw obliczamy x = 0.3436, y = 0.3340, i, = 0.2303 i s₂ = 0.2253. Następnie obliczamy współczynnik korelacji zgodnie ze wzorem

r =

Ęf₌₁Ę

Ve‘=i N,&-s)*T!_MN._j0j-y)²’