108

108

7. Wektory losowe

Dwuwymiarowy rozkład normalny

7.3.2. Wielowymiarowy rozkład normalny

Zdefiniujemy teraz dwuwymiarowy rozkład normalny, w którym współczynnik korelacji występuje jako jeden z parametrów. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,7) ma rozkład normalny, jeśli jej gęstość wyraża się wzorem

i

1

2kg_xg₂\/\ ~p

exp -

2(1-p²)

G\

G\G₂

a

. (7.3.6)

Parametr p występujący we wzorze (7.3.6) jest współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y, natomiast parametry m_p m₂, i a są odpowiednio wartościami oczekiwanymi i dyspersjami zmiennych losowych X i Y. Z porównania wzorów (7.3.6) i (2.4.9) widać, że gęstość dwuwymiarowego rozkładu normalnego jest iloczynem gęstości normalnych jednowymiarowych wtedy i tylko wtedy, gdy p = 0. Stąd otrzymujemy

Twierdzenie 7.3.3.

Jeżeli wektor losowy (X,7) ma dwuwymiarowy rozkład normalny, to zmienne losowe X i Y są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nie skorelowane.

Wykresy

gęstości

Wykresy gęstości dwuwymiarowego rozkładu normalnego są umieszczone w internecie na stronie wydawnictwa. Widać z nich, jak kształt gęstości /(jc,y) okrślonej wzorem (7.3.6), zależy od współczynnika korelacji p.

Bardzo ważne i pożyteczne są następujące własności rozkładu normalnego.

Twierdzenie 7.3.4.

Jeżeli wektor (X,7) ma rozkład normalny, to dla liczb a_v b_v a₂, b₂ spełniających warunki a_xb_{ ^ 0 i a₂b₂ ^ 0, wektor (a_{X -\-b_]Y_Ja₂X + b₂Y) też ma rozkład normalny.

Twierdzenie 7.3.5.

Jeżeli wektor (X,7) ma rozkład normalny, to rozkłady brzegowe X i Y są też normalne.

Twierdzenie 7.3.6.

Jeżeli wektor (X,7) ma rozkład normalny, to rozkłady warunkowe zmiennej losowej X przy warunku Y —y oraz zmiennej losowej Y przy warunku X — x też są normalne.

Przykład. Niech Z_x ~N(1 ,l),z₂~ N(2,1) będą niezależnymi zmiennymi losowymi. Niech X = Z_{+Z₂ oraz Y ~ 2Z_x — Z₂. Znajdziemy rozkład łączny wektora (X,7). Ponieważ dwuwymiarowy rozkład normalny jest w pełni określony przez parametry m_{, m₂, G_{, g₂ oraz p, więc dla znalezienia rozkładu łącznego wektora (X,7) wystarczy obliczyć te parametry oraz skorzystać