099

7. Wektory losowe

7.1. Rozkłady wielowymiarowe

7.1.1. Dystrybuanty

Do tej pory rozważając ciąg zmiennych losowych Xj ,X₂,...,X„, zakładaliśmy zawsze, że zmienne te są niezależne, tzn. spełniony jest warunek (2.1.5). W tym rozdziale będziemy rozważać przypadek zmiennych losowych, które nie muszą być niezależne, a niezależność określimy w prostszy sposób. Niech X = (X_x,X₂,... ,X_n) będzie wektorem losowym, tzn. wektorem, którego współrzędne są zmiennymi losowymi. Inną nazwą wektora losowego jest zmienna losowa wielowymiarowa. Dla takiego wektora definiuje się dystrybuantę łącz-Dystrybuanta ną jako funkcję n zmiennych rzeczywistych jc_ł,jc₂, ... lącma

F(x_vx₂, . •. ,x_n) = Pr(X_Ł < x_x ,X₂ < *2, ■ * * ,X_n < x_n).    (7.1.1)

Przypomnijmy, że prawa strona wzoru (7.1.1) jest skrótowym zapisem prawdopodobieństwa

Pr ({co : ^(o) < jcJ n{co : X₂(co) < jc₂} n n {to : X„(co) <x_n}) .

Dystrybuantą brzegową F₍(jc) nazywamy dystrybuantę zmiennej losowej X_/, Dystrybuanty czyli dystrybuantę /-tej współrzędnej wektora losowego X: brzegowe

F_i(x) = Pr(X_i <x) = Foo).

Często zamiast mówić „wektor losowy”, mówi się po prostu „zmienne losowe”. Czyni się to zwłaszcza w tych przypadkach, gdy kolejność tych zmiennych nie ma istotnego znaczenia, ponieważ różnią się one od siebie jakościowo. Na przykład powiemy: „zmienne losowe X i Y będą odpowiednio masą i długością elementu”, ale wygodniej będzie powiedzieć: „X = (X₁,X₂,X₃) jest położeniem cząstki w przestrzeni” albo „(X_pX₂,... ,X„) są wynikami kolejnych n pomiarów”.

Wartością oczekiwaną wektora losowego jest wektor określony wzorem

EX = (EX₁,EX_2j...,EX„).