Skrypt

Jeżeli zbiory X i Y są podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych R to mówimy o funkcjach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej. Takimi właśnie funkcjami będziemy się w dalszym ciągu zajmować.

Definicja 1.2.

Y ^ R ,    7 c R . Funkcję f :X —> Y nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej

rzeczywistej.

Przykład 1.3.

Aby podać funkcję, która każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przyporządkowuje liczbę przeciwną do wartości jej czwartej potęgi możemy użyć jednego z następujących zapisów:

/: R⁺ —» R , /(x) = -x⁴ lub

/: R⁺ —» R , m-t⁴ lub

f:R⁺ 3 x y = -x⁴ eR

który odczytujemy: „ funkcja f odwzorowuje zbiór R* w zbiór R, liczbie x należącej do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich odpowiada liczba y - -x⁴ ”.

Jeżeli zbiór X, na którym funkcja jest określona nie jest z góry zadany (z czym często spotykamy się w zadaniach sformułowanych tak: „Dana jest funkcja x\-^y = f(x), lub /: x > y = /(x), lub y=f(x) ) to przyjmujemy, że dziedziną funkcji f jest tzw. dziedzina naturalna tzn. zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie f(x) ma sens liczbowy.

Gdybyśmy, odwołując się do przykładu 1.3 mieli podany tylko przepis /:ib -x⁴ lub /(x) = -x⁴ , to chodziłoby o funkcję o dziedzinie R, gdyż wyrażenie -x⁴ jest określone dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Podamy teraz szereg określeń, zilustrowanych przykładami, dotyczących funkcji rzeczywistych. Niektóre z nich (równość funkcji, restrykcja, złożenie, injektywność) w niezmienionej formie, tylko z pominięciem założenia IcR, 7cR mogą odnosić się do znacznie szerszej klasy funkcji, niekoniecznie liczbowych, inne dla funkcji dowolnych nie miałyby sensu gdyż wymagają np. możliwości porównywania argumentów oraz wartości funkcji (monotoniczność) lub pojęcia liczby przeciwnej (parzystość).

Równość funkcji

Definicja 1,3.

Mówimy, że funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy gdy mają te same dziedziny oraz dla każdego punktu wspólnej dziedziny mają te same wartości.

def

f = g o

1 °D_f=D_g

2° Vx € D_f f(x) = g(x)