0071

72

I. Teoria granic

nicji liczby a'. Tak więc przeprowadzony podział zbioru liczb rzeczywistych na klasy jest rzeczywiście przekrojem.

Na podstawie twierdzenia Dedekinda [10], istnieje taka liczba rzeczywista a (^l), która rozgranicza liczby obu klas:

a<a<oc'.

Ale, jak zauważyliśmy, przy dowolnym ri>N liczba x„. — e jest jedną z liczb a, a liczba x„' + e jest jedną z liczb a'. Dlatego w szczególności

x_B.-es$a<x„. + £,    czyli |a-x_B.| = jx„.-a|s$e

dla dowolnego n'>N. Na podstawie określenia granicy [23] oznacza to, że

a — lim x„ .

Twierdzenie zostało więc udowodnione.

Zastosowanie tego kryterium będziemy nieraz napotykali w dalszym ciągu.

40. Podciągi i punkty skupienia. Rozważmy teraz na równi z ciągiem (1) dowolny

jego podciąg

(4)    x_Bi,x_Bj,x_Bj, ...,x_Bk.....

gdzie {«*} jest pewnym ciągiem rosnącym liczb naturalnych:

(5)    n₁<n₂<n₃<...<n*<n_Jk+1<...

Tutaj rolę wskaźnika przyjmującego kolejno wszystkie wartości naturalne gra już nie n, ale k; {n_k} jest ciągiem liczb naturalnych dążącym do +oo przy k->oo

Jeśli ciąg (1) ma określoną granicę a (skończoną lub nieskończoną), to tę samą granicę ma ciąg częściowy (4).

Zatrzymajmy się dla przykładu na przypadku skończonej liczby a. Niech dla danego £>0 istnieje takie N, że przy n>N jest już spełniona nierówność:

|x„ —a|<e.

Wobec tego przy «_fc->co, istnieje również takie K, że przy k>K jest n_k>N. Wówczas, przy tych samych wartościach k spełniona jest nierówność

|x_Bk-a|<e,

co dowodzi naszego twierdzenia.

Zauważmy przy okazji, że w naszym rozumowaniu nie opieraliśmy się na nierównościach (5), tj. nie korzystaliśmy z monotoniczności ciągu {«»}. Znaczy to, że nasze twierdzenie zachowuje moc, jeżeli wskaźnik całkowitoliczbowy n_t dąży do +oo według dowolnego prawa.

Jeżeli ciąg {x„}, czyli ciąg (1), nie ma określonej granicy, to nie jest wykluczone istnienie granicy dla pewnego podciągu (4), czyli dla ciągu x'_k = x„_k. Taką granicę nazywamy punktem skupienia ciągu (x_B), czyli ciągu (1).

(') We wskazanym twierdzeniu była ona oznaczona przez fi.