10 (20)

171

Zadania

Wskazówka. Dla O < c < oo, Ind(y+c) jest ciągłą funkcją o wartościach całkowitoliczbowych argumentu c; jednocześnie Ind(y+c)-*0 przy c-»oo.

25.    Niech y, i y₂ będą krzywymi jak w zadaniu 23 i niech

• lyi(t)-y₂(f)l < tVi(f)l (a ś t < ft).

Pokazać, że Ind(yj) = Ind (y₂).

Wskazówka. Podstawić y = y₂/7i• Wtedy |l-y| < 1, zatem Ind(y) = 0, na mocy zadania'24. Jednocześnie

y. ₌ Zk_li

y yi '/i

26.    Niech y będzie krzywą zamkniętą na płaszczyźnie zespolonej (niekoniecznie różniczkowalną), o przedziale parametru <0,2n), taką, że y(t) / 0 dla t e <0,2Wybierzmy S > 0 tak, aby |y(t)| > S dla t e <0,2ir). Jeśli P, i P₂ są wielomianami trygonometrycznymi takimi, że |P/r) -y(r)| < Jó dla t e <0,2n> (istnienie takich wielomianów wynika z twierdzenia 8.15), to stosując zadanie 25 wykazać, że Ind(P,) = Ind(P₂).

Powyższą wspólną wartość przyjmiemy za definicję Ind(y). Wykazać, że stwierdzenia z zadań 24 i 25 zachodzą bez zmian także i w tym przypadku, tj. bez żadnych założeń o różniczkowalności.

27.    Niech / będzie ciągłą funkcją o Wartościach zespolonych określoną na płaszczyźnie zespolonej. Załóżmy, że

istnieją liczba naturalna n oraz liczba zespolona c y= 0 takie, że lim z""/(z)« c.

M-co

Wykazać, że/(z) = 0 dla co najmniej jednej liczby zespolonej z. Zauważmy, że jest to uogólnienie twierdzenia 8.8.

Wskazówka. Załóżmy, że /(z) # 0 dla każdego z i określmy y_r(r) = /(re") dla 0 < r < co, Ó ^ t < 2rt. Udowodnić następujące fakty o krzywych y_r:

a)    Ind(y₀) = 0;

b)    Ind(y_r) = n dla dostatecznie dużego i~

c)    Ind(y_r) jest funkcją ciągłą argumentu r dla r e <0, co). (Dla dowodu b) i c) wykorzystać ostatnią część zadania 26.)

Pokazać, że a), b) i c) stanowią sprzeczny układ warunków z uwagi na to, że n > 0.

28.    Niech D będzie domkniętym kołem jednostkowym na płaszczyźnie zespolonej. (Zatem ze D wtedy i tylko wtedy kiedy |z| < 1.) Niech g będzie ciągłym odwzorowaniem D w okrąg jednostkowy T (czyli |g(z)| = 1 dla dowolnego z 6 D). Udowodnić, że g(z) - — z dla przynajmniej jednego z e T.

Wskazówka. DlaO < r $ 1 orazO $ t 2jc połóżmy

IffS 9(re“)

i niech ^(r) = e~ⁱ'y₁(i). Gdyby g(z) ź — z dla każdego z e T, wtedy ^(f) j= — 1 dla każdego te <0,2it>. Zatem na mocy zadań 24 i 26 mielibyśmy Ind(^) = 0. Wynika stąd dalej, że wtedy Ind (>’i) = 1, lecz Ind (>’₀) = 0. Podobnie jak w zadaniu 27 wynika stąd sprzeczność.

29.    Wykazać, że ciągłe odwzorowanie /:Dwfl posiada w D punkt stały. (Jest to dwuwymiarowa wersja twierdzenia Brouwera o punkcie stałym.)

Wskazówka. Załóżmy, że /(z) ^ z dla dowolnego ze D. Z każdym ze D zwiążmy punkt g{z) e T, leżący na promieniu zaczynającym się od/(z) i przechodzącym następnie przez z. Wtedy g odwzorowuje Dv/T, g(z) = z dla z e 7, i g jest funkcją ciągłą, z uwagi na równość

g(z) = z-s(z)[/(z)-z],

gdzie s(z) jest jedynym nieujemnym pierwiastkiem równania kwadratowego, którego współczynniki są funkcjami ciągłymi / i z. Zastosować zadanie 28.