10 (54)

205

Zadania

Określmy h(t) = /(p(t)) dla tych wszystkich teR¹, dla których p(t) należy do E.

a) Pokazać (stosując wielokrotnie regułę różniczkowania funkcji złożonej), że dla 1 < k < m

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie uporządkowane ciągi fc-wyrazowe (i_t.....i*), których każda współrzędna

jest jedną z liczb 1,..., n.

b) Z twierdzenia Taylora (5.15) wynika, że

dla pewnego t e (0,1). Zastosować ten wzór dla dowodu twierdzenia Taylora w przypadku n zmiennych pokazując, że prawdziwy jest wzór

przedstawiający /(a+x) jako sumę tak zwanego „wielomianu Taylora rzędu m— 1”, plus reszta, która spełnia warunek

Każda z wewnętrznych sum rozciąga się na wszystkie uporządkowane ciągi k-wyrazowe podobnie jak w części a). Jak zwykle przez pochodną rzędu zero funkcji /rozumiemy samą funkcję /, i wobec tego wyraz stały rozwinięcia Taylora funkcji / w punkcie a wynosi /(a).

c) Zadanie 29 pokazuje, że we wzorze Taylora napisanym jak w części b) powtarzają się wielokrotnie wyrazy podobne. Na przykład D₁₁₃ pojawia się trzy razy, jako J)₁₁₃, £>_n, i D_3U. Zatem suma odpowiednich trzech wyrazów może być napisana w postaci 3(Dj£>₃/) (a)xjx₃.

Wykazać (obliczając jak często pojawia się każda z pochodnych), że wielomian Taylora z punktu b) może być napisany w postaci:

Sumowanie rozciąga się tu na wszystkie uporządkowane ciągi n-wyrazowe (s_t.....s„),w których każda ze współrzęd

nych jest liczbą naturalną oraz jj+.„+», < m— 1.

31. Niech /e ⁽if<³> w pewnym otoczeniu punktu a 6 R². Niech gradient /w punkcie a będzie równy 0, ale nie wszystkie pochodne drugiego rzędu funkcji/w punkcie a będą równe 0. Pokazać, jak można za pomocą wielomianu Taylora funkcji/w punkcie a określić, czy funkcja/ma w a lokalne maksimum, lokalne minimum, czy też nie ma ani maksimum, ani minimum.

Rozciągnąć tę obserwację na przypadek R" zamiast R*.