1 EK MAT WYKł 8

Ekonomia matematyczna wykład 8

Funkcja produkcji: jest to funkcja dwóch zmiennych.

Jedną zmienną jest kapitał    Drugą zmienną jest praca

Dziedziną tej funkcji jest pierwsza ćwiartka prostokątnego układu współrzędnych otwarta tzn. bez brzegu.

Założyliśmy, że funkcja jest dostatecznie gładka klasy C² w tej dziedzinie, czyli ma w tej dziedzinie ciągle pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie.

Podobnie jak było czynione dla funkcji użyteczności każda funkcja produkcji powinna spełniać szereg postulatów

Postulat 1 który orzeka

Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są dodatnie w całej dziedzinie Interpretacja matematyczna

1    warunek orzeka, że funkcja produkcji jest rosnąca ze względu na zmienną xj w całej dziedzinie

2    warunek że jest również rosnąca ze względu na czynnik produkcji *2 w całej dziedzinie Interpretacja ekonomiczna

Wszelkie zmiany w ekonomi wyrażane w terminach pochodnych zwyczajnych czy też cząstkowych są zmiennymi krańcowymi

zatem mówimy że pochodne cząstkowe rzędu pierwszego są krańcowe produktywności czynników produkcji.

W szczególności warunek, który mówi że pochodna cząstkowa rzędu pierwszego względem czynnika produkcji xj jest dodatnia w dziedzinie orzeka że krańcowa produktywność czynnika produkcji \\ jest dodatnia.

Korzystając z interpretacji ekonomicznej pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego stwierdziliśmy, że oznacza to, że jeśli czynnik produkcji x\ wzrośnie o jednostkę od poziomu xm przy ustalonym poziomie czynnika produkcji *2 na poziomie *02 to produkcja w przybliżeniu wzrośnie, ponieważ ta pochodna cząstkowa jest dodatnia wzrośnie o tyle ile wynosi pochodna cząstkowa rzędu pierwszego względem zmiennej xj od poziomu, którym to poziomem jest wartość produkcji w punkcie xo

Interpretacja dla pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego względem X2(należy analogicznie jak dla xj zamienić 1 na 2 , a 2 na 1)

Postulat 2 orzeka, że

Pochodne cząstkowe rzędu drugiego są ujemne, ale nie mieszane

Pochodne nie mieszane rzędu drugiego są ujemne

Interpretacja matematyczna

Dla pochodnej względem xi z definicji