2 EK MAT WYKŁ 8

czyli pochodna rzędu pierwszego tej pochodnej rzędu pierwszego jest ujemna, zatem:

Ta pochodna rzędu pierwszego jest malejąca względem zmiennej xj

Pochodna rzędu pierwszego względem xi jest funkcja malejącą względem tej zmiennej xi w dziedzinie funkcji

Interpretacja ekonomiczna

Pochodna rzędu pierwszego jest to krańcowa produktywność czynnika produkcji xi to warunek orzeka, że krańcowa produktywność czynnika xj jest malejąca względem nakładów tego czynnika xj przy niezmienionych nakładach czynnika produkcji X2.

analogicznie interpretujemy pochodną cząstkową rzędu drugiego względem X2 ( zmieniamy role wskaźników 1 i 2

Jeżeli połączymy te dwa warunki to możemy powiedzieć, że

warunek drugi orzeka krańcowa produktywność każdego czynnika produkcji jest malejąca względem nakładów tego czynnika

3 warunek uwzględniamy pochodną rzędu drugiego ale mieszaną Żąda się aby była dodatnia

W.

9x,

>0

H

dYuaa pocbcfu<\ t <Yowmt\    3 X/i

ko[t{v\(b! Ąfo

Druga pochodna mieszana rzędu drugiego jest jej równa a to wynika z rozważań matematycznych mianowicie: wiemy, że funkcja produkcji jest gładka klasy C², czyli ma pochodne cząstkowe rzędu drugiego mieszane ciągłe i jeżeli zastosujemy warunek dostatecznej równości pochodnych mieszanych to z niego wynika równość tych pochodnych mieszanych.

Interpretacja matematyczna

Korzystając z definicji, iż ta pochodna mieszana to jest pochodna rzędu pierwszego pochodnej rzędu pierwszego i jest ona dodatnia    ________

\

9x7^7 ' 8Xą,ldj9 j

Przypomnienie z matematyki, iż kolejność różniczkowania jest od strony prawej do lewej: zatem Pochodna rzędu pierwszego względem X2 pochodnej rzędu pierwszego względem xi

Interpretacja matematyczna

Ponieważ ta pochodna jest dodatnia oznacza to, iż pochodna rzędu pierwszego względem zmiennej xi jako funkcja zmiennej X2 jest rosnąca

i