86482 MATEMATYKA031

54 I. Wiadomości wstyme

W szczególności definicje te zapisane dla funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej są dokładnie takie, jakie poznaliśmy w szkole średniej.

Uwaga Definiując granicę funkcji w punkcie p₀ zakładaliśmy, te funkcja ta jest określona na pewnym sąsiedztwie punktu p₀. Ogólniej (por Matematyka 2, rozdz II, 4) można rozważać granicę funkcji w takim punkcie p_ut którego żadne sąsiedztwo nic zawiera się w dziedzinie D tej funkcji, ale istnieje przynajmniej jeden ciąg <p„) taki, że p_n ei)-{p₀} dla neN oraz p_n—»p₀. Taki punkt p„ nazywamy punktem skupienia zbioru D.

PRZYKŁAD 4 4

a) Obliczymy granicę funkcji f (x) =

w punkcie x₀ = -2.

x² -4

x + 2 ^r

Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = (-oo,-2)u(-2,+oo). Niech (x_n) oznacza dowolny ciąg o wyrazach należących do dowolnego sąsiedztwa punktu x₀ = -2 i zbieżny do -2. Wówczas

= !im(x_n -2) = -4.

lim f(x_n) = lim

K-2)(x„+2)

x. +2

Zatem zgodnie z definicją Heinego granicy funkcji, mamy lim f(x) = -4.

X »-2

b) Obliczymy granicę funkcji dwóch zmiennych f(x,y) = —r—-

x‘ +y

w'punkcie p₀ =(-1,2).

Dziedziną funkcji f jest zbiór D = R ³ - ((0,0)}. Niech ciąg punktów p_n = (x_n,y_n) będzie dowolnym ciągiem o wyrazach nalezącycłi do dowolnego sąsiedztwa S(p₀) c D. zbieżnym do p₀. Ponieważ (Pn = (*n.y.)->H.2» <=>    A y„-»2),

więc

2

5*

lim

n-*«e

f(p„)= lim f(x„,y_n) = lim ^j- = -

«-►*    n-»® x + y

Oznacza to, żc

<x,y) K-».2) X² 4 y    3

p₀ = (0,0) nic istnieje.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór D = R -{(0,0)}. Niech

^P" ⁼ (n’n* ^{oraz P}" ^{= <}n^,‘n^ ^{dla n€N w}>'^raz>' ^ci^^ów (PÓ) » (P«)

należą do sąsiedztwa punktu p₀ i ciągi te są zbiezne do punktu p₀ = (0,0). Natomiast granice ciągów (f(p')) i (f(p")) są różne

3

Oznacza to, że granica funkcji f w punkcie p₀ nie istnieje.

W dalszym ciągu będziemy szczególnie dokładnie omawiać ciągi o wyrazach rzeczywistych, funkcje o wartościach rzeczywistych jednej i wielu zmiennych, a granica będzie jednym z podstawowych pojęć rozważanych przy tej okazji. Warto zdawać sobie sprawę z tego, że określenia granic, które wiedy będziemy formułować będą stanowiły szczególny przypadek definicji podanych w tym paragrafie

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

l. Obliczyć granice ciągu (p_n), gdy:

b) p_ft = (5-\l+3"-^V)