MATEMATYKA014

20 I Wiadomości wstyme

Ponieważ -16= 16(costc + i sin rc), więc. zgodnie z (2.8), mamy

z_k=2(cos-+ tsin-), k = 0,1,2,3.

4    4

Rozwiązaniami równania b) są liczby:

z_Q = 2(cos(Tc/4)-f isin(7r/4)) = >/2(l + i), z, = 2(co$(37t/4)-Msin(37r/4)) = V2(-l + i), z₂ = 2(co$(57i/4) + isin(57t/4)) = V2(-l-i), z₃ = 2(cos(77c/4) + isin(77i/4)) = >/2(l-i).

c) Rozwiązaniami równania są liczby z_k = V5+ 12i, k = 0,l. Ponieważ wyznaczenie argumentu liczby podpicrwiastkowej jest kłopotliwe (tablice), więc metoda zastosowana w punkcie a) i b) nie jest tu najwygodniejsza. Postąpimy inaczej. Przyjmijmy oznaczenie z = x + iy.

Szukamy takich liczb z, dla których z² = 5 +12i, czyli

(x + iy)² = 5+12i.

Porównując części rzeczywiste i części urojone po obu stronach tej równości, otrzymuj en y

x² - y² = 5 a 2xy = 12,

a stąd x = 3 i y = -2 lub x = -3 i y = 2. Oznacza to, że pierwiastkami równania c) są liczby z = 3-2i oraz z = -3 + 2i    ■

FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ. WIELOMIANY

Funkcja zmiennej zespolonej jest to funkcja, której dziedziną jest podzbiór zbioru liczb zespolonych. Na przykład funkcje określone wzorami:

f,(z) =|z|, f,(z) = z^J-2iz + 5, f,(z) = y^

da I

są funkcjami zmiennej zespolonej, przy czym funkcje f, i f₂ są określone na całej płaszczyźnie zespolonej, a funkcja f₃ jest określona dla dowolnego

z * i. Zauważmy jeszcze, żc funkcja f, jest funkcją rzeczywistą zmiennej zespolonej (przyjmuje wartości rzeczywiste), a funkcje f, i f₂ są funkcjami zespolonymi zmiennej zespolonej Funkcję postaci

(2.9)    W(z) = a₀z"+a,z^{n l}+-**+a_n, a₀*0, neN określoną dla dowolnego z zespolonego nazywamy wielomianem stopnia n, a liczby a_0>...,a_n - współczynnikami tego wielomianu

Liczbę z₀, dla której W(z₀) = 0 nazywamy miejscem zerowym lub pierwiastkiem wielomianu W(z).

Wykazuje się. Ze wielomian stopnia n postaci (2.9) ma dokładnie n pierwiastków (niekoniecznie różnych, gdyż uwzględniamy krotność tych pierwiastków) i można go przedstawić w postaci iloczynu W(z) = »„(*-z, )•...■ (z-z„), gdzie z,z_n są pierwiastkami tego wielomianu.

W szczególności, każdy wielomian stopnia drugiego W(z) = az²+bz + c, a*0 można zapisać w postaci

W(z) = a(z- z,)(z-Zj),

przy czym pierwiastki z,, z₂ tego wielomianu wyrażają się wzorami

(2.10)    z_ł=^, k = 1,2,

gdzie 5_k = >/A = Vb² -4ac, k = 1,2.

Wzory te wyprowadzamy dokładnie tak, jak w-zory na pierwiastki trójmianu kwadratowego w dziedzinie rzeczywistej, uw'zględniając jedynie, żc >/a (gdy A * 0) ma w dziedzinie zespolonej dwie wartości.

PRZYKŁAD 2.6 Rozwiążemy równania;

a) z² - 2z +1 + 2i = 0, b) iz²+(2-2i)z-i-2 = 0,

c) z² - 2z +10 = 0, d) z^: - (2 - 2i)z- 2i = 0.

Każde z tych równań jest równaniem kwadratowym, a jego rozwiązanie jest równoważne znalezieniu pierwiastków wielomianu stopnia drugiego znajdującego się po lewej stronie równania. Stosujemy wzory (2.10)