chądzyński0

ROZDZIAŁ 7

Dalsze własności funkcji holomorficznych

7.1. Twierdzenie Rouchńgo

Zadanie 1. Niech K — {z G C : j *i<i} i niech g będzie funkcją ciągłą w K i holomorficzną w K. Pokazać, ze jeśli \g{z)\ < 1 dla z G K, to równanie g(z) — z = 0 ma w kole K dokładnie jedno zero jednokrotne.

Rozwiązanie. Połóżmy f(z) = —z dla z G K. Wtedy \g(z) | < 1 — \f(z)\ dla z G OK. Fmikcja / ma w punkcie 0 zero jednokrotne, zatem, w myśl twierdzenia Rouchego, równanie g(z) — z — 0 ma w kole K dokładnie jedno zero jednokrotne.

; To kończy rozwiązanie.    □

Zadanie 2. Pokazać, ze dla dowolnego koła Kr = {z € C : \z\ < R} istnieje taka liczba A^r, ze dla dowolnego n > N równanie 1 + (z/l!) + [z²/2!) H----+ (zⁿ/n!) = 0 nie ma zer w Kr.

I

i

iRozwiązanie. Połóżmy f_n{z) =    ₀z^k/k\. Z zadania 5.1.1 ciąg {/_rJ

sjest jednostajnie zbieżny do funkcji exp z na 0K_R. Zatem istnieje liczba ■N taka, że dla n > N, \f_n(z) — e^z\ < e~^R dla £ G dK_R. Z drugiej strony, \e^z\ > e~ ^R dla z G 0K_R. Połóżmy f(z) — e^z, g_n(z) — f_n (z) — e^z dla z G K_r. Wtedy \g_n (z)\ < \f(z)\ dla z G OKr. Funkcja / nie ma ;zer w Kr, zatem na mocy twierdzenia Rouchego funkcja f_n = f + g_n nie ma zer w Kr.

To kończy rozwiązanie.    □

'Zadanie 3. Niech p będzie liczbą całkowitą dodatnią i a liczbą zespoloną spełniającą warunek 0 < |a| < 1/2^P. Pokazać, ze równanie \(z — l)^v e^z — a ma w półpłaszczyżnie {C G € : Re ( > 0} dokładnie p Różnych zer, przy czym wszystkie te zera leżą w kole K = {£ G C :

||C - 1| < 1/2}-

135