1673068233

15

FUNKCJE ANALITYCZNE

6. Podstawowe własności funkcji holomorficznych

Udowodnimy teraz szereg własności funkcji holomorficznych wynikających ze wzoru Cauchy’ego. Pokazaliśmy, że każda funkcja holomorficzna jest C-różnicz-kowalna dowolną ilość razy. W szczególności, każda funkcja, która lokalnie ma pierwotną jest holomorficzna. Z Twierdzenia 4.2 wynika zatem rezultat odwrotny do twierdzenia całkowego Cauchy’ego.

Twierdzenie 6.1. (Morera, 1886) Załóżmy, że funkcja f € C(fi) (fi otwarty wC) spełnia

f f(z)dz = 0

JdT

dla każdego trójkąta T C fi. Wtedy f € (9(fi).    □

| Ćwiczenie | Pokazać, że jeżeli / G C(C) fi 0(C \ R), to / G 0(C).

Przypomnimy teraz regularyzację funkcji przez splot, która jest przydatna w rozwiązaniu następnego ćwiczenia. Niech p G C°°(C) będzie takie, że supp p — A (ozn. A := ić(0,1)), p > 0, p{z) zależy tylko od \z\ oraz J_cpdX = 1. Dla e > 0 połóżmy p_e(z) := e~²p(z/e), wtedy suppp_£ = K(0,s) oraz J_cp_£dX = 1. Dla / G L}_oc{Sl) i w G fi_e := {z G fi : K(z,e) C fi} kładziemy

fe(w) := (/ * p_£)(w) = [ f(z)p_£(w - z)dX(z) = [ f(w - ez)p(z)dX(z). JK(w,e)    Ja

Wtedy f_£ G    (przy czym D^af_e = f* D^ap_£), f_£^f w L}_oc(ęi), gdy e 0,

natomiast jeżeli / jest ciągłe, to zbieżność jest lokalnie jednostajna.

| Ćwiczenie] Udowodnić twierdzenie Morery dla kół: jeżeli dla / G C(Q) zachodzi Jqk(zo r)    ⁼ 0 dla każdego koła K(zo,r) c fi, to / G O(fi).

Funkcję holomorficzną określoną na C nazywamy całkowitą.

Twierdzenie 6.2. (Liouville, 1847, Cauchy, 1844) Każda ograniczona funkcja całkowita jest stała.

Dowód. Jeżeli |/| < M na C, to z nierówności Cauchy’ego wynika, że \f'(z)\ < M/r dla każdego z G C i r > 0. Jeżeli więc r —* oo, to dostaniemy, że f = 0 na C. Ale to oznacza, że również pochodna rzeczywista / wszędzie znika. □

Wykład 4, 19.03.2007

| Ćwiczenie | Pokazać, że jeżeli funkcja / G 0(C) jest taka, że Re / < M dla pewnej stałej M, to / jest stała.

| Ćwiczenie] Pokazać, że jeżeli funkcja całkowita / spełnia |/(*)|<C|*r, gdy \z\ > R,

dla pewnych C, R > 0, to / musi być wielomianem stopnia < n.