5910202089

ROZDZIAŁ I

PRZESTRZENIE BANACHA

Przestrzenie unormowane

Podstawowe własności

Funkcję rzeczywistą || || na przestrzeni liniowej A nazywamy normą, jeżeli 1. ||0|| =0 i ||x|| > 0 gdy x ± 0,

2- Ilar + j/H < \\x\\ + ||y|| (podaddytywność),

3. ||Ax|| = |A| ||x|| (jednorodność).

Przestrzeń liniową, w której określona jest norma nazywamy przestrzenią liniową unormowaną (lub krótko przestrzenią unormowaną). Często dla podkreślenia, co jest normą w przestrzeni liniowej X, będziemy pisać (A, || ||). Norma w przestrzeni liniowej X wyznacza metrykę wzorem

p(x,y) = \\x-y\\.

W ten sposób przestrzeń unormowana staje się przestrzenią topologiczną metryczną. Ilekroć będzie mowa o własnościach topologicznych przestrzeni unormowanej (A, || ||), chodzi o topologię zadaną metryką p.

Przestrzeń unormowana zupełna nosi nazwę przestrzeni Banacha.

Z określenia normy wynika, że dodawanie wektorów w przestrzeni unormowanej i mnożenie ich przez skalary są operacjami ciągłymi. Ponadto:

1.1. Fakt . Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni unormowanej jest pod-przestrzenią liniową a domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni Banacha jest przestrzenią Banacha.

Głównym obiektem naszych zainteresowań będą przestrzenie Banacha. Zupełność przestrzeni pozwala przy badaniu zbieżności ciągu sprawdzać tylko warunek Cauchy’ego.