img047

4?

Własności funkcji rzeczywistych ciągłych na kompakcie

Twierdzenie 4,5, Oeśli (Z,d) jest kompaktem i f;Z—*R jest funkcję clęgłę « 2, to f jest ograniczona na zbiorze Z, tzn*

V A |f(x)UM

m > o x e z

Dowód. Przypuśćmy, że f nie jest ograniczona na Z. Wówczas dla każdej liczby naturalnej a Istnieje punkt xeZ, taki że lf(x)l>m.

Clęg J,?,... zawiera podcięg zbieżny. Przyjmijmy, że lim 2 » x£Z.

Z cięgłości funkcji f wynika, że Jeśli d(x,£)«6, to l f (x)-f (?) I 4 l, czyli | f(x)| 4 lf(S)l ♦ 1. Z drugiej strony, w kuli K(8,S) leżę punkty cięgu i,?,..., w których funkcja f przyjmuje dowolnie duże wartości. Stęd sprzeczność, a tym samym koniec dowodu twierdzenie 4.5*

Twierdzenie 4,6. Deśll (Z,d) Jest kompaktem i f:Z—*R Jest funkcję eięgłę w Z, to f oslęga na zbiorze Z snę wartość maksymalnę i ml* nlmalnę.

Dowód. Niech e ■_x*^ug f(x). Z twierdzenia 4*5 wynika, że a jest ilczbę rzeczywistę, a Z definicji supremum otrzymujemy, że dla każdego msN istnieje punkt "cZ taki, że

O ^ s - f(x)

Przypuśćmy, że f nie oslęga na zbiorze Z wartości s. Wówczas funkcja

sW - 5TTT7T

jest cięgła w zbiorze Z, a więc Jest ograniczona (twierdzenie 4.5). Ale wartości mianownika funkcji g na cięgu zmlerzaję do zera, gdy m^oo i funkcja g nie może być ograniczona. Dowód twierdzenia 4.6 został więc zakończony.

Przed podaniem następnego twierdzenia wprowadzimy pojęcie funkcji Jednoetejnle clęgłej.

DefJLnic^a^^4. Niech (Z,d) będzie przestrzeni# metrycznę. Mówimy, że funkcja fsZ^A-^R jeat jednostajnie cięgła w zbiorze Bca, Jeśli

A V /\ d(x,y)><$-* l f (x)-f(y) I < e e >o <$(e) > o x,y e e

Z powyższej definicji wynika, że funkcja jednostajnie cięgła w zbiorze B jeet w tym zbiorze cięgła. Istnieję jednak funkcje cięgłe w B, które nie sę jednostajnie cięgłe.