0154

155

§ 5. Własności funkcji ciągłych

89. Nowe dowody podstawowych twierdzeń. Pokażemy teraz, że lemat Borela może być wykorzystany do dowodów podstawowych twierdzeń o funkcjach ciągłych Bolzano--Cauchy’ego, Weierstrassa i Cantora.

1° Pierwsze twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego [80]. Tym razem udowodnimy to twierdzenie przez sprowadzenie do niedorzeczności. Załóżmy, że przy spełnieniu założeń twierdzenia w żadnym punkcie funkcja nie przyjmuje wartości 0. Wówczas według lematu z ustępu 80 każdy punkt x' przedziału (a, b} można pokryć otoczeniem a'=(x'—ó\ x'+S'), w którym (^x) funkcja /(x) zachowuje znak.

Rys. 35

Nieskończony układ Z={o} tych otoczeń pokrywa więc cały przedział <a, b). Wówczas, na podstawie lematu Borela, dla tego celu można wziąć pokrycie skończone Z* ze wspomnianych otoczeń.

Lewy koniec a naszego przedziału należy do jednego z otoczeń układu Z*, np. do otoczenia gi = (jcj—<5_X,    +<Sj. Jego prawy koniec należy z kolei do otoczenia a₂=(x₂ — S₂,

x₂ + ó₂) zL^ł, punkt x₂+ó₂ należy do otoczenia <t₃=(x₃ — S₃, x₃+ó₃) z Z*, itd. (rys. 35). Po skończonej ilości kroków w prawo dochodzimy do otoczenia a_n = (x_n — S_n, x_n+S_n) z Z* zawierającego już prawy koniec b danego przedziału. Gdyby Z* zawierało jeszcze jakieś inne przedziały poza

(6)    <T₁ , O₂ , O3 , ... , O_n ,

to można by je było oczywiście po prostu opuścić.

W otoczeniu <r, funkcja /(x) zachowuje określony znak, a mianowicie znak wartości f{d). Ale również w a₂ funkcja ma określony znak, który powinien być taki sam jak znak /(a), ponieważ    i a₂ mają część wspólną. Podobnie przekonujemy się o tym, że ten sam

znak funkcja zachowuje w następnym otoczeniu a₃, mającym część wspólną z a₂, itd. Wreszcie dojdziemy do wniosku, że w ostatnim otoczeniu a_n funkcja ma znak /(a), czyli że /(b) ma ten sam znak co /(a), co już przeczy założeniu. Twierdzenie zostało udowodnione.

2° Pierwsze twierdzenie Weierstrassa [84]. Na mocy ciągłości funkcji/(x) dla dowolnego punktu x' z przedziału {a, b} można przy danej liczbie e>0 pokryć ten punkt na tyle małym otoczeniem a'=(x'—5', x' + S^r), żeby dla wszystkich x z tego otoczenia spełniona była nierówność

|/(x)-/(x')|<£,

czyli

/(x') - e </(x) </(x') + e.

(‘) Tzn. we wspólnej części tego otoczenia i przedziału <a, b), w którym x może się zmieniać.