0146

147

§ 5. Własności funkcji ciągłych

Jeśli by było x’>x", to ponieważ funkcja f(x) rośnie, byłoby też y’>y", co przeczy założeniu. Nie może być również jc'=jc", bo wówczas byłoby i y' =y", co również jest sprzeczne z założeniem. Możliwa jest więc tylko nierówność x'<x", tak że funkcja g(y) rzeczywiście rośnie.

Aby ponadto udowodnić ciągłość funkcji x=g(y), wystarcza powołać się na twierdzenie w ustępie 71, 2°, którego założenia są spełnione: rozważana funkcja jest monotoniczna, a jej wartości wypełniają oczywiście przedział *(')•

Wszystkie tezy twierdzenia są geometrycznie oczywiste, co łatwo odczytać z rysunku 32.

Za pomocą udowodnionego twierdzenia można ponownie ustalić wiele znanych już nam wyników.

Jeżeli zastosujemy je do funkcji jc" (n—liczba naturalna) w przedziale S"=<0, +00), to otrzymamy istnienie i ciągłość pierwiastka (arytmetycznego) x=%Jy dla yz<& =

— <0, +00). Biorąc pod uwagę funkcję y=a* w przedziale #"=(- 00, +00), udowodnimy istnienie i ciągłość logarytmu x=log^ y w przedziale ^=(0, +00). Na koniec, rozważając funkcje y=sin jc i y=tg jc, pierwszą w przedziale =    ^7c), a drugą w przedziale 9C₂=(—\k, $n), przekonujemy się o istnieniu

i ciągłości funkcji odwrotnych jc=arc siny i jc=arctgy, odpowiednio w przedziałach ^1 = <-1, +1> i ⁽&₂=(-cc, +00).

Zakłada się przy tym, że poprzednio wykazana już była ciągłość funkcji jc”, o*, sin jc, tg jc — bez powołania się na ciągłość ich funkcji odwrotnych, gdyż w przeciwnym przypadku utworzyłoby się błędne koło. Takie dowody podane były właśnie w ustępie 68; natomiast rozważania z ustępu 72 nie są tu oczywiście odpowiednie.

Rozważmy jeszcze następujący przykład:

Niech dla x z 2£=(—vo, +00)

y—x— esinjc,    gdzie 0<e<l.

Łatwo dowieść, że funkcja ta jest ściśle rosnąca. A mianowicie, jeżeli x”>x', a y', y" są odpowiednimi wartościami y, to

y"—y'=(x”— x!)—e (sinjc"—sin*').    (3)

Ale [por. (2), 68]

| sin x"—sin jc' | < x"—x',

skąd już wynika, że

y"—y'> 0, tj. y">y'.

Stosując do tego przypadku omawiane twierdzenie, przekonujemy się, że również X jest jednoznaczną funkcją zmiennej y itd.

0) Przy dowolnym xz SC wystarcza tylko przyjąć y=f (x), żeby dla tego y funkcja g(y) miała za swą wartość właśnie to x.