5 (4)

Ciągłość pochodnych

93

jącą ważną własność funkcji ciągłych: przyjmują wszystkie wartości pośrednie (porównaj twierdzenie 4.23). Dokładne sformułowanie jest następujące:

5.12. TWIERDZENIE. Niech f będzie funkcją rzeczywistą, różniczkowalną na przedziale <«, by, i niech f'(a) < A < f\b). Wtedy istnieje punkt x e (a, b) taki, że f'(x) = A.

Analogiczne twierdzenie zachodzi oczywiście także wtedy, gdy f'(a) > f'(b).

Dowód. Przyjmijmy g(t) = /(r)—Af. Wtedy g'(a) < 0, a zatem #(fi) < g(a) dla pewnego ti e (a, b) i podobnie g\b) > 0, więc g(t₂) < g(b) dla pewnego t_z e (a, b). Wobec tego g osiąga swoje minimum na <a, b} (twierdzenie 4.16) w pewnym punkcie x takim, że a < x < b. Na mocy twierdzenia 5.8 g'(x) = 0, a więc f(x) = A.

WnioSek. Jeżeli f jest różniczkowalna na (a, by, to f nie ma punktów nieciągłości pierwszego rodzaju na przedziale <a, by.

Jednakże/' może oczywiście mieć punkty nieciągłości drugiego rodzaju.

Reguła 1’HospitaIa

Przy obliczaniu granic bywa często przydatne następujące twierdzenie.

5.13. TWIERDZENIE. Niech fig będą funkcjami rzeczywistymi, różniczkowalnymi na przedziale (a, b) i niech g'{x) # 0 przy dowolnym xe(a, b), gdzie - co^a<b^+co. Niech

(13)

Jeżeli

(14)

lub jeżeli

(15)

f(x)-*0 i g(x)-+0 przy x-*a

g(x)—+ + oo przy    x -*a,

to

(16)

Analogiczne twierdzenie jest oczywiście prawdziwe, gdy x-*b lub gdy w (15) g(x)->-co. Zauważmy, że tym razem wykorzystujemy pojęcie granicy w rozszerzonym sensie zgodnie z określeniem 4.33.

Do w ód. Załóżmy z początku, że —oo < A < + oo. Wybierzmy liczbę rzeczywistą ą taką, że A <q, a następnie wybierzmy r takie, aby była spełniona nierówność A < r < q. Zgodnie z (13), istnieje punkt c e (a, b) taki, że przy a < x < c mamy

(17)