0152

153

§ 5. Własności funkcji ciągłych

Ponieważ x?-^m)—Xq⁾-*0 (bo I*⁰⁰—jc^IcĄ,, a <5_B->0), więc równocześnie i ciąg Xo^B) dąży do x₀. W takim razie na mocy ciągłości funkcji w punkcie x₀ powinno być

f(x^M)-+f(x o) oraz f(x^<o⁾)-^f(x₀),

czyli

f(.x^w)-f(x⁽^0, co przeczy temu, że dla wszystkich n

\f(x^M)-f(x™)\>s.

Twierdzenie zostało więc udowodnione.

Z udowodnionego twierdzenia wynika bezpośrednio następujący pożyteczny wniosek:

Wniosek. Niech funkcja f(x) będzie określona i ciągła w przedziale domkniętym (a, by. Wówczas dla danego e>0 znajdziemy takie ó>0, że jeżeli ten przedział podzielimy dowolnie na podprzedziały o długości mniejszej niż 8, to w każdym z tych podprzedziałów oscylacja funkcji f (x) jest mniejsza niż e.

Rzeczywiście, jeżeli przy danym e obrać jako 8 liczbę, o której mówi się w definicji jednostajnej ciągłości, to w podprzedziale o długości mniejszej niż 8 różnica pomiędzy dowolnymi dwiema wartościami funkcji jest co do wartości bezwzględnej mniejsza od e. W szczególności pozostaje to słuszne także dla największej i najmniejszej z tych wartości, których różnica daje oscylację funkcji we wspominanym podprzedziale [85].

88. Lemat Borela. Udowodnimy teraz pewne interesujące twierdzenie pomocnicze, które - podobnie, jak lemat Bolzano-Weierstrassa - może być użyteczne przy przeprowadzaniu wielu subtelnych rozważań teoretycznych; pochodzi ono od Borela.

Rozważmy wraz z przedziałem <a, bj jeszcze pewien układ Z przedziałów otwartych o, który może być zarówno skończony, jak nieskończony. Powiemy, że układ Z pokrywa przedział {a, bj (albo że przedział ten jest pokryty układem Z), jeżeli dla każdego punktu x przedziału <a, bj znajdziemy w Z przedział a, zawierający ten punkt. Ta definicja ułatwi nam sformułowanie i dowód wspomnianego twierdzenia.

Lemat Borela. Jeżeli przedział domknięty <a, 6) pokryć nieskończonym układem Z={a} przedziałów otwartych, to z pokrycia tego można zawsze wybrać podpokrycie skończone

Z*=\oi, a₂, ..., <?„}

dla przedziału <o, bj.

Dowód I (przez sprowadzenie do niedorzeczności, przy zastosowaniu lematu Bol-zano [41]). Załóżmy, że przedział <«, bj nie może być pokryty skończoną ilością przedziałów a z Z. Podzielmy przedział <«, bj na połowy. Wówczas przynajmniej jedna z połówek również nie może być pokryta skończoną ilością przedziałów a; rzeczywiście, gdyby jedna z tych połówek była pokryta przedziałami a_lt a₂, .... o_m (z^» a druga — przedziałami c_m+x, a_m+2,..., a_n (z Z), to ze wszystkich tych przedziałów można byłoby utworzyć skończone pokrycie Z* dla całego przedziału <o, bj, wbrew założeniu. Oznaczmy przez (a_lt b_tj tę połowę przedziału, która nie jest pokryta skończonym pokryciem (jeśli obie