0148

149

§ 5. Własności funkcji ciągłych

85. Największa i najmniejsza wartość funkcji. Wiemy, że nieskończony zbiór liczb, nawet ograniczony, może nie mieć elementu największego (najmniejszego). Jeżeli funkcja f{x) jest określona, a nawet ograniczona w pewnym przedziale zmienności jc, to wśród wartości /(x) może nie być wartości największej (najmniejszej). W tym przypadku kres górny (dolny) wartości funkcji / (x) nie jest osiągany w danym przedziale. Tak jest np. dla funkcji

/(*)== x-[>],

której wykres przedstawiono na rysunku 33. Przy x zmieniającym się w dowolnym przedziale <0, b} (b^ 1), kresem górnym wartości funkcji jest 1, ale ta wartość nie jest osiągana, czyli największej wartości funkcja nie ma.

Czytelnik z pewnością zauważył związek tej własności z występowaniem u omawianej funkcji nieciągłości w naturalnych wartościach x. Rzeczywiście, dla ciągłych funkcji w przedziale domkniętym ma miejsce:

Twierdzenie (Weierstrassa II). Jeżeli funkcja f (jc) jest określona i ciągła w przedziale domkniętym <a, by, to osiąga ona w tym przedziale swój kres górny i dolny.

Innymi słowami, w przedziale <a, by istnieją takie punkty x=x₀ oraz x=x_t,źe wartości f (*o) i f (*i) są odpowiednio największą i najmniejszą z wartości funkcji f (x) w tym przedziale.

Dowód I. Przyjmijmy

M=sup {/(*)};

z poprzedniego twierdzenia wynika, że M jest liczbą skończoną. Załóżmy (prowadzimy dowód nie wprost), że wszędzie f(x)<M, tj. że kres M nie jest osiągany. W takim przypadku można rozważyć funkcję pomocniczą

<P(x)

1

M-f(xY

Ponieważ z założenia mianownik nigdzie nie przyjmuje wartości 0, funkcja ta jest ciągła, a więc (z poprzedniego twierdzenia) jest ograniczona: <p(x)^p (p>0). Ale łatwo stąd otrzymać, że wówczas jest

/(x)<M--,

V-

tj. liczba M—l[p, mniejsza niż M, jest krańcem górnym dla zbioru wartości funkcji /(x), co nie jest możliwe, bo liczba Af jest kresem górnym tego zbioru. Otrzymana sprzeczność