160(1)

a potem, przez porównanie, określimy największą i najmniejszą wartość v na całej granicy obszaru.

Na części AOB mamy: y - a², v_t(x) ■- x*^Jr2x², gdzie x przebiega wartości z przedziału [—2, 2].

Zgodnie z regułą podaną w rozdz. III, § 5, szukamy największej i najmniejszej wartości v_t w przedziale [—2, 2]. Mamy:

I. v\ — 4a³-)-8a,    = 0 dla x = 0, t',(0) — 0.

n.w,(-2) = ®₁(2) = 32.

III. Porównując wartości v_t w wewnętrznym punkcie krytycznym ,\- = 0 przedziału x — —2, x — 2 i na jego końcach, stwierdzamy, że największa wartość ?.’i w przedziale [—2, 2] wynosi 32 (w punktach a- = ±2), a wartość najmniejsza jest równa zeru (w punkcie a — 0).

Na części AB mamy: y — 4, v₂(x) — 2a³+4a^z—§a+16, gdzie —2 < < a <2. Poszukujemy więc największej i najmniejszej wartości v₂\v przedziale [-2,2]:

I.    v\ = 6x²+ 8a—8, c’2 = 0 dla a = (w punkcie C), c₂ jyj = 16y~.

II.    ®₂(—2) = v,(2) = 32.

III.    Największa wartość vi w przedziale [—2, 2] wynosi 32 (w punktach

22 I    2 \

a = ±2), a wartość najmniejsza jest równa 16-^ Iw punkcie a = yl.

Porównując znalezione wartości v dla części AOB i AB granicy obszaru, widzimy, że na brzegu obszaru największa wartość funkcji v wynosi 32 (w punktach A i B), a jej wartość najmniejsza jest rów na zeru (w punkcie 0).

C. Wewnątrz danego obszaru domkniętego funkcja v nie ma punktów ekstremalnych. Wartość największą i najmniejszą osiąga funkcja w punktach.

leżących na granicy tego obszaru. W punktach granicznych A(—2,4) j B(2. 4) funkcja v ma wartość największą (maksimum absolutne), która wynosi v„_w = v(A) = v(B) = 32, a w punkcie granicznym 0(0,0) ma ońa wartość najmniejszą (minimum absolutne), wynoszącą v_nm=v (O) = 0.

784. W równoramiennym trójkącie prostokątnym znaleźć punkt o tej własności, że suma kwadratów jego odległości od wierzchołków⁷ trójkąta jest najmniejsza.

Rozwiązanie. Obieramy układ współrzędnych prostokątnych xOv jak na rys. 150; wtedy współrzędnymi wierzchołków trójkąta będą odpow iednio punkty A(0, 0), B(a, 0) i C(0, a). Niech Af(x,y) będzie dowolnym punktem tego trójkąta. Suma kwadratów jego odległości od wierz-

Rys. 150

chołków trójkąta wynosi u = MA²+MB²-\-MC² = 3x²+3y²—2ay—2ax+ +2u¹ i zależy od dwóch zmiennych x i y, które zgodnie z warunkiem zadania mogą przybierać wszystkie w-artości z domkniętego obszaru trójkątnego ABC.

W dalszym ciągu, zgodnie z regułą podaną na początku tego paragrafu, szukamy najmniejszej wartości funkcji u(x, y) w trójkącie ABC.

A.    u'_x — 6x—2a, n'_y = 6y—2a; Z układu równań u_x — 0, u'_y = 0 znajdujemy jedyny punkt krytyczny Kjy, y j . Leży on wewnątrz trójkąta.

ABC. Odpow iadająca mu wartość u wynosi u(K) = — a².

B.    Dla boku AB mamy: y = 0, u(x, 0) = u_x — 3x²—2ax-\-2a², przy czym 0 < x < a.

I.    n\.= 6.v—2a. u\ = 0 dla x = y (w punkcie MJ, jyj - |a².

II.    «,(0) = 2a², Ui(a) — 3a².

III.    Najmniejsza wartość u_t(x) w przedziale [0, a] jest równa y a².

21*

323