159(1)

Funkcja ciągła lub nie w obszarze nie domkniętym może nie mieć ani największej, ani najmniejszej wartości. W takim obszarze.może nie istnieć maksimum i minimum absolutne. Inaczej jest, gdy obszar rozważany jest domknięty.

Funkcja f{M), ciągła w pewnym obszarze D domkniętym i ograniczonym, musi przyjmować w tym obszarze wartość największą i najmniejszą, przy czym wartości te (ekstrema absolutne) są bądź ekstremami lokalnymi, leżącymi wewnątrz obszaru D, bądź występują na brzegu obszaru.

Aby znaleźć największą czy też najmniejszą wartość funkcji f(M) w ograniczonym i domkniętym obszarze D, gdzie funkcja jest ciągłą, można postępować w myśl następującej reguły:    j

A.    Znajdujemy punkty krytyczne leżące wewnątrz obszaru D i obliczamy wartość, jaką funkcja przybiera w każdym z tych punktów (nie wnikając, czy są to punkty ekstremalne i jakiego są one typu).

B.    .Wyznaczamy największą i najmniejszą wartość badanej funkcji na granicy obszaru D.

C.    Porównujemy otrzymane wartości funkcji. Największa i najmniejsza z nich będzie zarazem największą i najmniejszą wartością danej funkcji (absolutnym maksimum i minimum) w całym obszarze D.

783. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji:

1)    z = 'x^l—y²-\-2a^z w kole x²-ry² < a²

2) v = 2x³-\-4x²-r)r—2xy w obszarze domkniętym, ograniczonym liniami y — xr i y — 4

Rozwiązanie: 1) Postępujemy w myśl podanej wyżej reguły.

A.    Wyznaczamy punkty krytyczne funkcji z położone wewnątrz koła i obliczamy wartości funkcji w tych punktach. Mamy z* = 2x,z'_y = —2y. Rozwiązując układ równań z'_x = 0, z'_y = 0 znajdujemy punkt krytyczny £(0, 0) leżący wewnątrz koła. Innych punktów' krytycznych nie ma. Wartość funkcji w punkcie K wynosi z(K) = 2a~.

B.    Znajdujemy największą i najmniejszą spośród wartości, jakie funkcja z przyjmuje na brzegu danego obszaru, czyli na okręgu x²+y² = a². Równanie okręgu wiąże ze sobą zmienne x i y. Wyrażając za pomocą tego równania jedną ze zmiennych jako funkcję pozostałej, np. y = ±) a²—x², i podstawiając ją do wyrażenia na z, przekształcamy z na funkcję jednej zmiennej: z(x) = 2x²+a², gdzie * przebiega wartości z przedziału [—a, a].

Wyznaczymy teraz największą i najmniejszą spośród wartości funkcji z(x) w przedziale [—a, a], które to wartości będą jednocześnie największą

i najmniejszą wartością funkcji z(x, y) na granicy danego obszaru, tj. na okręgu.

Zeodnie z regułą, omówioną w rozdz. III, § 5:

I Szukamy punktów krytycznych funkcji z(,y), leżących wewnątrz przedziału [—o, a] i obliczamy jej wartości w tych punktach. Mamy: z'(x) — 4.v i z'(x) = 0 w punkcie x = 0. Jest to jedyny punkt krytyczny leżący wewnątrz danego przedziału. Odpowiadająca mu wartość z(x) wynosi

z(0) = a\

XI. Obliczamy wartości z(x) na końcach danego przedziału: z(—a) =

- z(a) = 3a².

III. Porównując wartości z(x) obliczone w wewnętrznym punkcie krytycznym x = 0 przedziału x = —a i x = a i na jego końcach stwierdzamy, że największa wartość funkcji z(x) w przedziale [—a, a] (lub co na jedno wychodzi największa wartość z(x, y) na granicy danego obszaru, tj. na okręgu a-—y² = cr) wynosi 3a¹, a najmniejsza wartość z(x) w danym przedziale (czyli najmniejsza wartość funkcji z(x, y) na danej granicy obszaru) wynosi a^z.

C. Porównując następnie wartość funkcji z w wewnętrznym punkcie krytycznym Kz największą i najmniejszą wartością na okręgu, wnioskujemy, że największa wartość funkcji z w danym obszarze domkniętym (czyli w kole) wynosi 3a² i jest osiągana przez nią w punktach granicznych A_x{—a, 0) i A₂(a, 0), natomiast wartość najmniejsza funkcji w tym obszarze wynosi a² i jest osiągana w punktach y4₃(0, —a) i A_Ą(0, a), też leżących na granicy obszaru (rys. 148) (rzędne punktów A_u A₂, A₂, Aą, leżących na okręgu, zostały obliczone z równania okręgu przez podstawienie znanych odciętych tych punktów).

2) Postępujemy wg podanej wyżej reguły:

A. Szukamy punktów krytycznych funkcji v, leżących wewnątrz danego obszaru (rys. 149). Pochodne funkcji wynoszą: v'_x = 6x²+%x—2y, v’_y = = 2y—2x. Rozwiązując układ równań v’_x = 0. v’_y == 0 znajdujemy dwa punkty krytyczne (0,0) i (—1, —1). Żaden z tych punktów nic leży jednak wewnątrz obszaru. Innych punktów krytycznych, w których pochodna nie istnieje, nie ma.

h- Z kolei poszukujemy największej i najmniejszej spośród wartości, jakie funkcja v przybiera na granicy (na brzegu) danego obszaru. Brzeg ten składa się z dwóch części: AOD i AB danych różnymi równaniami. Znajdziemy więc największą i najmniejszą wartość v na każdej z tych części,

1 Metody rozwiązywania zadań 321