0144

145

§ 5. Własności funkcji ciągłych

Teraz jest jasne, że pierwiastek leży pomiędzy 1,22 i 1,23; tak więc znamy już wartość pierwiastka z dokładnością do 0,01 itd i¹).

W świetle tych uwag interesujące jest zestawienie podanych powyżej dwóch dowodów tego samego twierdzenia. Drugi z nich jest tylko dowodem istnienia pierwiastka równania /(.*) =0 i nie mówi nic

0    tym, jak ten pierwiastek znaleźć. Pierwszy dowód wskazuje określoną drogę do efektywnego obliczenia pierwiastka. Przez kolejne połowienie przedziału (do czego dla prostoty ograniczyliśmy się) można w rzeczywistości zawrzeć szukany pierwiastek w przedziale o dowolnie małej długości, tj. obliczyć ten pierwiastek z dowolną dokładnością.

82. Twierdzenie o wartości średniej. Udowodnione w ustępie 80 twierdzenie daje się bezpośrednio uogólnić w sposób następujący:

Twierdzenie II (Bolzano-Cauchy’ego). Niech funkcja f(x) będzie określona i ciągła w pewnym przedziale SE (domkniętym lub nie, skończonym lub nieskończonym). Jeżeli w dwóch punktach x=a i x=b (a<b) tego przedziału funkcja przyjmuje różne wartości, f (a)=A oraz f (b) = B, to dla dowolnej liczby C leżącej pomiędzy A i B istnieje taki punkt x=c pomiędzy a i b, że f(c) = C (²).

Dowód. Przyjmijmy na przykład, że A<B, tak że A<C<B. Rozważmy w przedziale (a, b} funkcję pomocniczą q>(x)=f(x)-C. Funkcja ta jest ciągła w przedziale <a, by

1    na jego końcach ma różne znaki:

ę(a)=f(a)-C=A-C<0,    ę(b)=f(b)-C=B-C> 0.

A zatem, w myśl pierwszego twierdzenia Bolzano-Cauchy’ego, pomiędzy a i b znajdziemy taki punkt c, dla którego <p(c)=Q, tj.

/(c) —C = 0    lub f(c) = C,

cbdo.

Ustaliliśmy w ten sposób ważną własność funkcji f(x), ciągłej w przedziale: przechodząc od jednej swojej wartości do drugiej funkcja przyjmuje choć raz jako wartość każdą liczbę pośrednią.

Innymi słowami można tę własność wyrazić tak: wartości przyjmowane przez funkcję ciągłą f (jc), gdy x zmienia się w pewnym przedziale SE, wypełniają całkowicie pewien przedział SJ.

Rzeczywiście, niech

m=inf/(x),    M = sup/(x)(³),

a y₀ niech będzie dowolną liczbą pomiędzy mi M:

m<y₀<M.

(') Zresztą droga ta jest praktycznie niewygodna. W rozdziale IV (§ 5) wskażemy znacznie bardziej efektywne metody.

(²)    Oczywiste jest, że pierwsze twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego jest przypadkiem szczególnym tego twierdzenia: jeżeli A i B mają różne znaki, to jako C można wziąć 0.

(³)    Przypominamy czytelnikowi, że jeżeli zbiór {/(*)} nie jest ograniczony z góry (z dołu), to umawiamy się [11] przyjąć Af= +oo (m= — oo).