30836

Własności funkcji ciągłych

1.    (tw. o ciągłości funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja / jest ciągła i rosnąca (odp.malejąca) na przedziale A C R. to f(A) jest przedziałem oraz funkcja odwrotna /^-1 jest ciągła i rosnąca (od p. ma lejąca) na przedziale f(A).

2.    (tw. o lokalnym zachowaniu znaku) Jeżeli funkcja / jest ciągła w punkcie aro oraz /(aro) < 0 (odp. /(aro) > 0), to istnieje takie otoczenie O punktu ar₀, że dla każdego x G O n Df zachodzi nierówność /(ar) < 0 (odp./(ar) > 0).

Zastosowanie: jeżeli funkcja / jest ciągła w punkcie a*o i /(aro) ^ 0. to na pewnym otoczeniu punktu ar₀ wartości funkcji / mają ten sam znak co liczba /(aro).

3.    (tw. o przyjmowaniu wartości pośrednich) Jeżeli funkcja / jest ciągła na przedziale A (domkniętym lub otwartym, ograniczonym lub nieograniczonym) oraz dla pewnych ari,ar₂ € A : /(ari) — a\ ^ /(ar₂) = «₂, to dla każdej liczby c leżącej między aj i a₂ istnieje ar G A taki, że /(ar) = c.

Zastosowanie: Jeżeli funkcja / jest ciągła na przedziale (a; b) oraz /(«)• f{b) < 0. to Istnieje c G (a; b) taki, że /(c) = 0.

4.    (tw. o ciągłości funkcji złożonej) Jeżeli funkcja wewnętrzna / jest ciągła w punkcie aro i funkcja zewnętrzna g jest ciągła w punkcie y₀ = /(a-₀), to funkcja złożona yo f jest ciągła w punkcie ar₀.

5.    (tw. o wchodzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeżeli istnieje granica właściwa lim /(ar) = y₀ i funkcja zewnętrzna y jest ciągła w punkcie yo, to

Jiin (</ o /)(ar) = y (jim /(ar)) = y(yo)

G. (tw.Weierstrassa) jeżeli funkcja / jest ciągła na przedziale domkniętym (a; 6), to

(a)    / jest ograniczona w (a;b) (tzn.3m,A/ G RVar € (o;b) [m < /(ar) < A/]),

(b)    istnieją takie liczby ari,ar₂ G (a; 6), że sup /(ar) = /(arj) oraz inf /(ar) =/(ar₂).

*€<a*>    x€<a*>

Asyinptoty pionowe

Zał. Funkcja / jest określona w pewnym sąsiedztwie (co najmniej jednostronnym) punktu ar₀.

Definicja 4. Prosta ar = a*₀ jest asymptotą pionową lewostronną (odp.prawostronną) krzywej y = /(ar), jeśli granica lim /(ar) (odp. lim /(ar)) jest niewłaściwa.

r—*r~    t—.rt

Asyinptoty poziome

Zał. Funkcja / jest określona w przedziale (—oo;a) (odp.(a; +oo)) dla pewnego a G R.

Definicja 5. Prosta y m jest asymptotą poziomą lewostronną (odp.prawostronną) krzywej y = /(ar), jeśli lim /(ar) = m (odp. lim /(ar) = m).

2