CCF20121001008

Ciągłość jednostronna

Definicja: Jeżeli w definicji ciągłości funkcji/w punkcie *₀ zastąpimy warunek lim f(x) = f(x₀) warunkiem

X->XQ

lim f(x) = f(x₀)    Hm f(x) = f(x₀)

AT-W+    *-«0

to mówimy, że funkcja/jest prawostronnie ciągła    lewostronnie ciągła

w punkcie ,v₀ .

Przykład:

/(*) =

x² +1 dla x > 0 x -1 dla x < 0

/(O) = 1 lim f(x) = -1 lim f(x) = 1

Y—>0_Y^0^ł

1<

W 0 funkcja/jest prawostronnie ciągła, a nie jest lewostronnie ciągła. Zatem w 0 nie jest ciągła.

Własności funkcji ciągłych Twierdzenie 1: Jeżeli funkcje fig są ciągłe w punkcie .v₀, to funkcje:    f+g, f-g, f g, fig (gdy g(x_a)*0)

są ciągłe w punkcie .x₀.

Twierdzenie 2: Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej (malejącej) jest ciągła i rosnąca (malejąca).

Twierdzenie: Jeżeli funkcje/ig są ciągłe w punkcie x₀, to

funkcj ef+g,f-g,f‘g oraz fig (gdy g(x_B)*0) są ciągłe w punkcie .v₀.

Dowód:

lim (f(x)+g(x)) =

x->x₀

= lim /(x)+ lim g(x) =

X—>x₀    X->Xq

= f{x₀) + g{x₀)

Dla pozostałych działań dowód jest analogiczny.

52

Definicja: Wielomian jest funkcja postaci:

f(x) - a₀ + a,x + a₂x² +... + a_nxⁿ

Wniosek: Wielomian jest funkcją ciągłą w każdym punkcie.

Definicja: Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów.

Wniosek: Funkcja wymierna jest funkcją ciągłą w każdym punkcie poza miejscami zerowymi mianownika.

53

Twierdzenie 3: Jeżeli funkcja y=/(x) jest ciągła w punkcie x₀ i funkcja h(y) jest ciągła w punkcie y₀=_/t.v_fl), to także funkcja złożona h\f[x)) jest ciągła w punkcie ,v_(l.

Twierdzenie 4: Jeżeli istnieje granica właściwa lim f{x) = g i funkcja lt(y) jest ciągła w punkciey₀=^, to

lim Ąf(x)\ = h lim f(x) =h(g)

X~*XQ

Twierdzenie 5 (o lokalnym zachowaniu znaku funkcji ciągłej): Dana jest funkcja ciągła f:(a,b) -> R. Wówczas dla x₀£(a,b) zachodzą implikacje: ...

/(x₀)>0=> VA[x-jc_o|<<5=>/(jr)>0]

S>0 x

f(x₀) < o => V A|ix - x_Q\ < ę => f(x) < o]

8>0 x

-8

/(*„)

A*o>

-8